Il teorema di incompletezza di Gödel

Nell’estate del 1930 il matematico ventiquattrenne Kurt Gödel dimostrò uno strano teorema: la matematica è una storia senza fine. Non può esistere una formulazione definitiva e comprensiva di tutta la matematica. Comunque si proponga una sistemazione assiomatica della matematica, si potrà sempre trovare qualche semplice problema che sfuggirà a tale sistemazione. Questo è il teorema di incompletezza di Gödel.

Le implicazioni di questa scoperta epocale sono sconvolgenti. I pensatori dell’epoca della Rivoluzione industriale immaginavano l’universo come un enorme meccanismo programmato e avevano ottimisticamente predetto che in breve tempo gli scienziati sarebbero venuti a conoscenza di tutte le leggi e i programmi che lo governano. Ma se c’è qualcosa che segue indubitabilmente dal teorema di Gödel è proprio la conclusione che l’uomo non verrà mai a conoscenza del segreto finale dell’universo.

Ovviamente tutti possono dire che la scienza non può fornire tutte le risposte. Ciò che rende così importante il lavoro di Gödel è che egli riuscì a dimostrarlo, formulando la sua dimostrazione nel linguaggio estremamente precisi della logica matematica. 

Come arrivò Gödel a concepire la sua dimostrazione? Che tipo di uomo era? Kurt Gödel nacque il 28 aprile del 1906 a Brno, in Cecoslovacchia, allora parte dell’impero austro-ungarico. La sua famiglia faceva parte della rilevante minoranza tedesca di Brno e suo padre era un dirigente di successo di una delle numerose industrie tessili della città. L’infanzia di Gödel fu intristita da una febbre reumatica che lo colpì all’età di sei anni. Si riprese dalla malattia, ma per il resto della sua vita fu pieno di apprensioni per la sua salute.1 Si iscrisse all’Università di Vienna nel 1923 e conseguì il dottorato in matematica nel 1930. Vienna era a quei tempi un posto enormemente stimolante. Gli inizi della psicoanalisi. della musica dodecafonica, dell’architettura moderna e della pittura non figurativa possono essere ricondotti alle figure di Sigmund Freud, Arnold Schonberg, Adolf Loos e Oskar Kokoschka, tutti attivi a Vienna in questo periodo. Ma, cosa ancora più importante per Gödel, questo era anche un periodo di grande fermento filosofico a Vienna. Nel 1921 l’intellettuale viennese Ludwig Wittgenstein aveva pubblicato il suo Tractatus Logico-Philosophicus, una vera gemma del pensiero. Inoltre, il positivismo logico ebbe inizio e si sviluppò col lavoro di un gruppo di filosofi noto come “Circolo di Vienna”. Il più importante tra gli insegnanti di Gödel, Hans Hahn, era un membro eminente di questo gruppo, a cui partecipavano Moritz Schlick, Philipp Frank e Rudolf Carnap. II Circolo di Vienna si riuniva in una stanza dedicata ai seminari del Dipartimento di Matematica e Gödel partecipava regolarmente a queste riunioni. L’idea principale del positivismo logico è riassunta nel manifesto di Rudolf Carnap: “Non intendiamo dare risposte a questioni filosofiche e anzi respingiamo ogni questione filosofica, sia essa metafisica, etica o epistemologica.2 In questa concezione, proposizioni astratte di carattere filosofico come “Tutto è Uno” sono senza significato, non vere o false, ma semplicemente prive di contenuto. Questo punto di vista era basato sul “Principio di verificabilità”, in base al quale il significato di una proposizione è dato dal metodo di verifica della medesima. Dato che i neopositivisti non vedevano come si potessero verificare scientificamente proposizioni metafisiche del tipo di “Tutto è Uno” oppure “L’Assoluto è fuori dal tempo”, tali proposizioni erano considerate completamente prive di significato. Questa parte distruttiva del positivismo logico fu notevolmente influenzata dal famoso Tractatus di Wittgenstein. Questo breve libro di carattere aforistico offre questo tipo di soluzione ai tradizionali problemi filosofici: “Di ciò di cui non possiamo parlare dobbiamo tacere”. Ma si deve sottolineare che Wittgenstein,  sebbene fosse in sintonia con i membri del Circolo di Vienna, non fu mai un vero positivista logico. Al contrario, egli assume talvolta posizioni tipiche della mistica Zen. Si veda per esempio il modo elegante in cui descrive la sua posizione nel Tractatus:

Noi sentiamo che, anche una volta che tutte le possibili domande sci che hanno avuto una risposta, i nostri problemi non sono ancora reppur toccati. Certo allora non resta più domanda alcuna; e appunto questa è la risposta. La risoluzione del problema della vita si scorge allo sparir di esso.

La parte costruttiva del positivismo logico era costituita da un programma di unificazione di tutte le scienze usando come strumento il linguaggio della logica matematica. L’ispirazione era tratta dai Principia Mathernatica di Russell e Whitehead.5 In quest’opera monumentale (tre grossi volumi) si dimostra come tutti i familiari concetti e fatti della matematica si possano derivare in modo logico a partire da alcuni principi molto semplici. I positivisti logici pensavano che questa fondazione rigorosa si potesse estendere anche ad altre brache della scienza, come la fisica e la psicologia.

Il risultato principale ottenuto da Russell e Whitehead fu la definizione precisa e la caratterizzazione formale di ciò che intendiamo come conseguenza logica di un certo insieme di proposizioni. Disponendo di questa definizione il matematico “formalista” David Hilbert sosteneva che il problema fondamentale della matematica era quello di scegliere gli assiomi giusti e di esaminarne le conseguenze logiche. I positivisti logici speravano di estendere questo punto di vista a tutte le scienze e perfino al pensiero umano. Per afferrare le implicazioni che un tale approccio programmatico avrebbe nei confronti della conoscenza umana, proporrei al lettore un piccolo esperimento mentale, da compiere in un mondo fantastico. 

Immaginiamo ora la situazione seguente

Un sistema d’assiomi completo per la matematica fu ottenuto nel 1950. Il sistema ebbe nome VM, da Verità Matematica. Fu dimostrato in via teorica che ogni proposizione vera della matematica si potesse ricavare in VM e che ogni proposizione falsa potesse essere refutata in VM. Quindi gli assiomi di VM, uniti alle regole per la deduzione logica di Whitehead-Russell-Hilbert, erano in grado di catturare tutta la matematica. L’esistenza della teoria completa VM non ebbe nessun impatto reale sui matematici fino al ventunesimo secolo. Fino ad allora avevano continuato a cercare nuovi modi di combinare i vari assiomi di VM per ottenere dimostrazioni logiche di teoremi interessanti, come avevano sempre fatto ma a partire dall’anno 2000 i calcolatori divennero talmente veloci da prendere il sopravvento. Nel giro di dieci anni, un sistema di processori basato sulle giunzioni di Josephson rese i matematici obsoleti come regoli calcolatori. Il sistema fu chiamato MVM, Macchina della Verità Matematica.

Il funzionamento della MVM era il seguente. Si programmava MVM con gli assiomi del sistema completo VM. Il comportamento di MVM era semplice. Esaminava tutte le conseguenze logiche di questi assiomi: prima tutti i teoremi le cui dimostrazioni erano di una sola riga, quindi tutti i teoremi le cui dimostrazioni erano di due righe, quindi di tre righe, e così via. Dopo un po’ si arrivava ai teoremi con dimostrazioni lunghe tre milioni di righe e si andava avanti così all’infinito.

A mano a mano che MVM dimostrava proposizioni le inseriva in un elenco dei teoremi. Se si desiderava conoscere la soluzione di un problema matematico (“L’ultimo teorema di Fermat è vero’?”, “Qual è la soluzione di questa equazione differenziale?”, “Qual è il percorso più breve che connette queste dieci città’?”) non si doveva far altro che sottoporre il problema a MVM che a sua volta avrebbe cercato la risposta nel suo elenco dei teoremi.

Se la risposta era già nell’elenco dei teoremi, bene, ma altrimenti occorreva attendere un po’, ma presto o tardi MVM avrebbe prodotto il teorema capace di risolvere il problema. Non c’era più ragione di rivolgersi ai matematici, dato che MVM era già andata ben al di là di tutte quelle dimostrazioni che, per la loro lunghezza, erano alla portata degli esseri umani.

La situazione era completamente soddisfacente per tutti, tranne che per i matematici. Alcuni di essi si ribellarono per dar vita a una nuova “matematica irreale” basata su assiomi deliberatamente falsi e contraddittori. Ma MVM li umiliò generando in un’ora scarsa di lavoro tutti i teoremi più interessanti della “matematica irreale”. Col crescere del suo bagaglio di verità logiche e matematiche, MVM diventava sempre più potente. Bastava sottoporle un insieme di assiomi qualsiasi per o ottenerne immediatamente le conseguenze più interessanti.

I fisici furono i primi a subire la stessa sorte dei matematici. Alla fine degli anni novanta uno studente israeliano era riuscito a unificare compie amente meccanica quantistica e relatività generale. Una breve lista di assiomi, venticinque, in tutto, riassumeva tutte le leggi di natura. Questa teoria detta VF, da Verità Fisica, fu introdotta come programma in un calcolatore connesso a MVM. Il nuovo sistema detto MVF, da Macchina della Verità Fisica, cominciò a produrre in modo sistematico le conseguenze di VF. Presto si ottenne una soluzione del problema dei tre corpi e una spiegazione della massa dell’elettrone, si calcolò l’età esatta dell’universo, si scoprirono diversi procedimenti per una fusione nucleare sicura.

Il lavoro unificato di MVM e MVF aveva prodotto una massa critica di conoscenza. Nel giro di pochi anni si ottennero teorie complete per la biologia, la psicologia e la sociologia. Un sistema di calcolatori a livello planetario era in grado di combinare tutte queste teorie e costituiva la MVS, Macchina della Verità Scientifica, una specie di divinità.

Qualsiasi problema di carattere scientifico era risolto nel modo migliore da MVS. Se la risposta non era ancora pronta nell’elenco dei teoremi, la si sarebbe trovata in breve tempo. Non c’era scienziato che potesse rivaleggiare con le conoscenze di MVS e quindi era inutile lavorare in modo indipendente. Durante il Rinascimento vi erano in Italia matematici che si guadagnavano da vivere con la loro abilità nel risolvere equazioni cubiche. Immaginate la loro delusione se i principi dell’epoca avessero avuto a loro disposizione la semplice formula per la soluzione delle equazioni cubiche, unitamente a una calcolatrice tascabile per calcolare le soluzioni! L’elencazione delle conseguenze di una teorie completa, un lavoro puramente meccanico, aveva preso il posto dell’intuizione scientifica e della creatività. L’ultimo evento di questa catena accadde inaspettato nel 2060. Uno scienziato argentino aveva elaborato, con l’aiuto di MVS, una teoria completa dell’estetica. Le leggi immutabili che governano il bello in letteratura, nelle arti figurative e nella musica, furono catturate in un sistema di assiomi detto VE, Verità Estetica. La MVE, costruita di nascosto, entrò in azione producendo una serie di brevi lavori che esprimevano magnificamente la condizione umana nell’universo. Nonostante le proteste degli artisti, il governo decise di collegare la MVE con la MVS per ottenere la MVU, la Macchina della Verità Universale. Non c’era più nulla da fare. Non appena si cercava di conoscere o fare qualcosa, o anche solamente si pensava di poterlo fare, ci si rendeva conto che la MVU era in grado di farlo meglio. Un’azione terroristica contro la MVU era impossibile perché essa disponeva di una teoria completa del comportamento umano che la metteva in grado di prevedere ogni attacco e quindi di proteggersi. L’unica attività rimasta agli esseri umani era lo sport. Un terminale della MVU fu collocato in ogni casa e il mondo scivolò verso la vecchiaia osservando il video. Deprimente? Non c’è da preoccuparsi! Nel 1930 Kurt Gödel dimostrò che una MVU (Macchina della Verità Universale) non può esistere. Non può esistere nemmeno una macchina della verità matematica. Non esiste un insieme completo di assiomi MV per la verità matematica. Ogni sistema di conoscenza del mondo è, e resterà, fondamentalmente incompleto, sempre suscettibile di miglioramento.

Ciò non esclude che il futuro ci riservi uno scenario simile a quello che ho descritto, ma la differenza, grazie a Gödel, sta nel fatto che le macchine non conosceranno tutte le risposte. Ci sarà sempre spazio per una persona creativa che voglia cercare una via migliore.

L’universo rifiuta di essere catturato da una rete finita di assiomi. La realtà è essenzialmente infinita al suo livello più profondo. Nessuna macchina dotata d un programma finito può esaurire la ricchezza del nostro mondo mentale e fisico La dimostrazione del teorema di incompletezza di Gödel è nello stesso tempo semplice e sottile, ed esporla non è facile. Nelle sue linee fondamentali il ragionamento si svolge così.

Qualcuno presenta a Gödel una MVU, una supposta Machina della Verità Universale, capace di risolvere correttamente ogni problema.

Gödel chiede il programma e lo schema dei circuiti di MVU. Il programma, per quanto complicato, deve essere finito. Chiamiamo o P(MVU), Programma della Macchina della Verità Universale.

Con un sorrisetto Gödel scrive la proposizione seguente: “La macchina costruita sulla base del programma P(MVU) non dirà mai che questa proposizione è vera”. Chiamiamo G questa proposizione, da Gödel. Si noti che G è equivalente a MVU non dirà mai che G è vera”.

Ora Gödel ride apertamente e chiede a MVU se G è vera o no.

Se MVU dice che G è vera, allora “MVU non dirà mai che G è vera” è falsa. Se “MVU non dirà mai che G è vera” è falsa, allora G è falsa (dato che G=“MVU non dirà mai che G è vera” ). Quindi se MVU dice che G è vera allora G è falsa e quindi MVU ha prodotto una proposizione falsa. Quindi MVU non dirà mai che G è vera dato che è una macchina che produce solo proposizioni vere.

Abbiamo stabilito che MVU non dirà mai che G è vera. Quindi “MVU non dirà mai che G è vera” è di fatto una proposizione vera. Quindi G vera (dato che G = “MVU non dirà mai che G è vera”).

“Conosco una verità che MVU non è in grado di raggiungere,” dice Gödel. “So che G è vera. Quindi MVU non è veramente universale”.

Occorre rifletterci sopra per convincersene.

Il trucco della dimostrazione di Gödel è molto simile a quello del famoso paradosso del Mentitore di Epimenide: “Io sto mentendo“, dice Epimenide. Sta davvero mentendo? 

Oppure possiamo definire una proposizione B che asserisce: “B non è vera”, come abbiamo fatto nel paragrafo “Che cosa è la verità?”. B è vera? Il problema è che B è vera se e solo se non è vera. Ne risulta che B è in un certo senso al di fuori dell’ambito di applicabilità dei concetti di “vero” e “falso”.

C’è qualcosa dì perversamente insensato nella proposizione B che si è propensi a ignorare.

Ma la proposizione G di Gödel non può essere liquidata facilmente. 

Col suo grande genio logico e matematico, Godei è stato in grado di associare a ogni dato P(MVU) un’equazione polinomiale molto complessa che ha una soluzione se e solo se G è vera. Quindi G non può essere considerata una proposizione dal contenuto vago o non matematico. G è uno specifico problema matematico di cui noi conosciamo la risposta, ignota invece a MVU! Quindi MVU non costituisce, e non può costituire, una sistemazione definitiva delle conoscenze matematiche. Il teorema di incompletezza di Gödel era una sfida per i formalisti e i positivisti logici del tempo. Ma tutti coloro che furono in grado di seguire i molti passi che costituiscono una dimostrazione dettagliata del teorema furono costretti ad ammetterne la correttezza. Gödel divenne famoso.

Allo scoppio della seconda guerra mondiale Gödel si trasferì a Princeton, nel New Jersey, come membro permanente dell’Institute for Advanced Study. Questa famosa “università senza studenti” era stata costituita pochi anni prima grazie al finanziamento di Louis Bamberger, un ricco proprietario di grandi magazzini. Anche Einstein, allora piuttosto anziano, lavorava qui e presto divenne uno dei pochi intimi di Gödel si poteva spesso vedere mentre camminavano nel prato davanti alla Fuld Hall discutendo di relatività. Gödel stesso pubblicò un articolo curioso sulla relatività in cui descriveva un tipo particolare di universo dove sono possibili i viaggi nel tempo per mezzo di astronavi. Negli anni quaranta Gödel produsse alcuni dei suoi lavori più interessanti. Poco dopo il suo arrivo negli Stati Uniti pubblicò il suo unico libro, una monografia sulla teoria degli insiemi intitolata The Consistency of the Continuum Hypothesis. Questo libro contiene la dimostrazione dell’impossibilità di refutare l’ipotesi del continuo di Cantor entro l’usuale teoria degli insiemi. Come era accaduto col suo teorema di incompletezza, anche in questo caso fu il metodo di dimostrazione, oltre all’enunciato del teorema, ad avere un grande impano sulla matematica e la filosofia. 

In questo lavoro Gödel trovò un nuovo modo di pensare…

(Tratto da R. Rucker, La mente e l’infinito, Muzzio Editore – con adattamenti)