Sapere formale e crisi dei fondamenti: le geometrie non-euclidee

 

url-13

 

Alessandro Benigni

(c) Fata Libelli – 2007

 

 

 

 

 

 


 


SOMMARIO

 

INTRODUZIONE

LA GEOMETRIA EUCLIDEA COME “PROTOTIPO DI SCIENZA”

ANALISI DELLA STRUTTURA INTERNA DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA.

LA SISTEMAZIONE KANTIANA DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA “A BASE INTUITIVA”.

LIMITI STORICI DELL’EPISTEMOLOGIA KANTIANA IN RELAZIONE ALLA SCIENZA SUCCESSIVA.

IL PROBLEMA DELL’EVIDENZA: IL “NEO” DI EUCLIDE

LA NASCITA DELLE GEOMETRIE NON-EUCLIDEE

GAUSS

IL NESSO “FORMA-FORMALE”

KANT E IL FORMALISMO

LA VERITÀ: SINTASSI E SEMANTICA.

Platone

Dialettica e sapere formale.

La dialettica in Platone

La dialettica come scienza delle scienze

La filosofia supera la matematica

I due sensi di “formalismo” in Platone

L’attualità di Platone

Platone: oltre il formalismo?

Il concetto di epistème nel Sofista

La teoria scientifica e la sua “verità”.

MATERIALI AGGIUNTIVI

Il primo libro degli Elementi di Euclide

I Teoremi principali di Euclide

 

 

 

 


 

 

 

INTRODUZIONE

 

Le discipline matematiche vanno soggette, nel corso dell’Ottocento, ad un processo di “rigorizzazione” che culminerà, negli anni a cavallo tra i due secoli, alla scoperta di una serie di antinomie che mineranno alla base la solidità dell’intero edificio matematico e porteranno alla delineazione di nuovi problemi, tra i più interessanti e fecondi per i matematici del XX secolo. In particolare, come vedremo, la nascita delle geometrie non-euclidee porrà fine a una delle idee filosofiche maggiormente radicate (e più influenti) nella storia del pensiero: l’idea che gli assiomi della geometria euclidea siano verità evidenti, auto-evidenti, incontrovertibili e vere al di là di ogni discussione possibile . In altre parole vedremo che le geometrie non-euclidee mostrano che quelli che per tanti secoli erano stati considerati “principi primi” (indubitabilmente certi) in realtà non sono altro che “possibili” punti di partenza (del tutto discutibili) e che alcune proposizioni che venivano viste (ed utilizzate) come se fossero “assolutamente vere” in realtà non sono altro che semplici convenzioni, utilizzate per realizzare uno dei modelli possibili di universo. Questo ci porterà ad introdurre i principali nodi tematici relativi alla discussione epistemologica del ‘900.

Un primo dato di fatto, dunque: la filosofia ha sempre considerato la geometria euclidea come indiscutibilmente “vera”. La geometria euclidea è stata per questo considerata un sinonimo di scienza.

 

 

 

 

 

LA GEOMETRIA EUCLIDEA COME “PROTOTIPO DI SCIENZA”

 

La geometria euclidea ha costituito – da Euclide fino alla prima metà dell’Ottocento – il prototipo di una scienza che da una parte offre un chiaro esempio di metodo deduttivo in azione e dall’altra mostra altrettanto chiaramente un continuo aggancio all’intuizione spaziale del mondo esterno, condivisa da ogni essere umano. Si tratta di una convinzione solidissima, che – come vedremo – dura da Euclide fino a Kant. Anzi, anticipiamo che sarà proprio Kant a dare una perfetta sistemazione teorica a questa concezione “intuitiva” della geometria. A questo punto occorre introdurre un quadro generale della geometria euclidea e, in questo quadro, far emergere la questione del Quinto postulato.

 

 

 

 

 

 

ANALISI DELLA STRUTTURA INTERNA DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA.

 

Come lavorava Euclide?

 

1) Come sappiamo, Euclide (330-277 a.C. circa) con i suoi Elementi aveva dato una forma sistematica al sapere geometrico. Verosimilmente, poco del contenuto degli Elementi è originale, ma Euclide ebbe indiscutibilmente il merito di riunire proposizioni e dimostrazioni prese dalle fonti più disparate e di presentarle in un assetto deduttivo.

 

2) Nel primo libro degli Elementi Euclide fissa ventitré definizioni, cinque postulati e alcune nozioni comuni o assiomi; successivamente passa, in base a quanto stabilito, alla dimostrazione (e deduzione) delle proposizioni (o teoremi) della geometria. Le definizioni (esempio: “Punto è ciò che non ha parti”; “Linea è lunghezza senza larghezza”; “Estremi di una linea sono punti”; ecc.) intendono, sostanzialmente, esplicitare i concetti della geometria. I postulati rappresentano verità indubitabili tipiche del sapere geometrico, in quanto EVIDENTI: 1) “Si può condurre una retta da qualunque punto a qualunque punto”; 2) “Una retta finita si può prolungare a piacere”; 3) “Si può tracciare un cerchio di centro e raggio qualunque”; 4) “Tutti gli angoli retti sono uguali”. Il quinto è “il postulato delle parallele” che per ora lasciamo da parte. Infine gli assiomi sono, per Euclide, verità che valgono non solo in geometria ma universalmente. (Ad esempio: “Cose che sono uguali ad una stessa cosa sono uguali tra di loro”; “Se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali”; “Se da cose uguali sono sottratte cose uguali, i resti sono uguali”; “Il tutto è maggiore della parte”; ecc.).

 

3) Definiti i concetti e fissati i postulati e gli assiomi, Euclide da essi deduce quelle proposizioni o teoremi che costituiscono il sapere geometrico (ad esempio: “Su una retta terminata data, costruire un triangolo equilatero”; “Nei triangoli isosceli gli angoli alla base sono uguali fra loro, e venendo prolungati i lati uguali, gli angoli sotto la base saranno [pure] uguali fra loro”; “Se in un triangolo due angoli sono uguali fra loro, anche i lati opposti agli angoli uguali saranno uguali fra loro”; ecc.).

 

È, questo, dunque, il modo in cui Euclide ordina le conoscenze geometriche nel sistema detto appunto euclideo. E questo sistema è valso per secoli come modello insuperabile di sapere deduttivo: i termini della teoria vengono introdotti dopo essere stati definiti, le proposizioni non sono asserite se prima non vengono dimostrate. Certo, nella dimostrazione dei teoremi non si può risalire all’infinito, e ad un determinato momento bisogna pur arrestarsi e poggiare la catena delle deduzioni su precise proposizioni prime. Ma Euclide le aveva scelte in modo tale che, riguardo alla loro verità, non pareva che una mente sana potesse sollevare alcun dubbio. Ed essendo i teoremi correttamente dedotti da proposizioni prime, vere di per sé, autoevidenti (così sarebbe stato autoevidente dire che: “il tutto è maggiore della parte”, o che “tutti gli angoli retti sono uguali tra loro”), anch’essi apparivano come indubitabilmente veri.

 

In sostanza possiamo considerare l’impianto euclideo come la realizzazione di una organizzazione assiomatica di una disciplina. E questo mediante la scelta di un piccolo numero di proposizioni evidenti di quell’ambito di sapere e alla successiva deduzione da queste proposizioni evidenti (e quindi vere) di tutte le altre proposizioni vere di tale ambito.

 

Abbiamo detto che l’impostazione euclidea della geometria ha costituito il paradigma di teoria matematica e che questa convinzione è sopravvissuta praticamente indisturbata fino a Kant [abbiamo già anticipato che sarà proprio Kant a dare una completa sistemazione teorica a questa concezione “intuitiva” della geometria.

 

Ma a cosa si deve questa straordinaria longevità dell’impianto euclideo ? Questo è potuto succedere – come abbiamo detto – perché la geometria euclidea offre un chiaro esempio di “metodo deduttivo” costantemente riferito alla tipica intuizione spaziale del mondo esterno, che dando luogo a una serie di evidenze permette di afferrare delle determinate “verità”. In altre parole si è convinti – ma senza giungere a dimostrazioni rigorose – che ci sia una “corrispondenza” tra la realtà spaziale ed il modo con cui l’uomo la concepisce.

 

Si assume quindi che lo spazio euclideo è lo spazio “reale”, vero. La verità di questa assunzione è garantita appunto dall’intuizione (ed in seguito rafforzata dalla sistemazione kantiana, che come si sa ebbe notevole fortuna). Il tutto si basa quindi sull’idea di “corrispondenza”: qui si fonda l’idea stessa di assiomatica tradizionale, secondo cui la verità delle prime assunzioni è garantita dall’intuizione.

 

 

 

 

LA SISTEMAZIONE KANTIANA DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA “A BASE INTUITIVA”.

 

 

Come abbiamo visto, la geometria euclidea è stata considerata una dottrina costituita da verità evidenti “a priori”, e questo fino a Kant. Come sappiamo, “spazio” e “tempo” sono per Kant “intuizioni pure”, e la geometria euclidea, in quanto articola la struttura del nostro spazio fisico quale a noi è dato concepire in forza della struttura del nostro pensiero, non può che essere quella che in effetti è: una concezione assoluta, fondata su principi altrettanto indubitabili e assoluti. Per Kant la geometria costituiva un esempio paradigmatico di conoscenza sintetica a priori: certa in un modo che non richiede di essere giustificato dall’esperienza (ossia “a priori”) essa è tale che i suoi teoremi ci dicono pur qualcosa intorno al mondo, cioè non sono puramente analitici. In questo senso lo stesso Kant, vedendo nella geometria un nesso indissolubile tra ragionamento ed intuizione, non farà che sistemare filosoficamente una concezione che si era tramandata fin dall’antichità greca per quanto riguarda la natura della geometria come interprete fedele e assoluta della struttura dello spazio fisico. Come si è accennato, nell’Estetica Kant studia la sensibilità e le sue forme a priori. Kant considera la sensibilità “recettiva” perché essa non genera i propri contenuti ma li accoglie, per intuizione immediata, dalla realtà esterna o dall’esperienza interna. Tuttavia la sensibilità non è soltanto recettiva, ma anche attiva, in quanto organizza le intuizioni empiriche, ovvero la materia della conoscenza, tramite lo spazio ed il tempo, che costituiscono le forme pure (= a priori) delle intuizioni empiriche. Per questo, Kant definisce spazio e tempo anche “intuizioni pure”. Lo spazio, che è la forma del senso esterno esprime l’ordine della coesistenza delle cose, cioè il loro disporsi l’una accanto all’altra. Il tempo, che è la forma del senso interno, esprime l’ordine della successione dei nostri stati d’animo, ossia il loro disporsi l’uno dopo l’altro. Tuttavia, poiché è unicamente attraverso il senso interno che giungono a noi i dati del senso esterno il tempo si configura anche, indirettamente, come la forma del senso esterno, cioè come la maniera universale attraverso la quale percepiamo tutti gli oggetti. Per cui, se non ogni cosa è nello spazio, ad esempio i sentimenti, ogni cosa è però nel tempo, in quanto “tutti i fenomeni in generale, ossia tutti gli oggetti dei sensi, cadono nel tempo e stanno necessariamente fra di loro in rapporti di tempo” (C.R.P., Estetica trascendentale, 11, 6). Kant giustifica l’apriorità dello spazio e del tempo sia con argomenti teorici generali (nella cosiddetta “esposizione metafisica”) sia con argomenti tratti dalla considerazione delle scienze matematiche (nella cosiddetta “esposizione trascendentale”). Nella “esposizione metafisica”, Kant fa emergere il proprio punto di vista confutando sia la visione empiristica, che considerava spazio e tempo come nozioni tratte dall’esperienza (Locke), sia la visione oggettivistica, che considerava spazio e tempo come entità a sé stanti o recipienti vuoti (Newton), sia la visione relazionistico-concettualistica, che considerava spazio e tempo come concetti esprimenti i rapporti fra le cose (Leibniz). Contro l’interpretazione empiristica, Kant afferma che spazio e tempo non possono derivare dall’esperienza, poiché per fare un’esperienza qualsiasi dobbiamo già presupporre le rappresentazioni originarie di spazio e di tempo. Contro l’interpretazione oggettivistica, Kant sostiene che qualora spazio e tempo fossero davvero dei recipienti vuoti, ossia degli assoluti a sé stanti, essi dovrebbero continuare ad esistere anche nell’ipotesi che in essi non vi fossero oggetti. Ma come fare a concepire “qualcosa che, senza un oggetto reale, sarebbe tuttavia reale?” (C.R.P., Estetica trascendentale, par. 6). In verità, puntualizza Kant, spazio e tempo non sono dei contenitori in cui si trovano gli oggetti poiché in tal caso, come si è appena visto, sarebbe difficile concepire la loro esistenza autonoma – bensì dei quadri mentali a priori entro cui connettiamo i dati fenomenici. Come tali, essi, pur essendo “ideali” o “soggettivi” rispetto alle cose in se stesse, sono tuttavia “reali” ed “oggettivi” rispetto all’esperienza, ossia alle cose quali appaiono fenomenicamente (nell’ipotesi che noi portassimo sempre delle lenti azzurre, tale colore, per noi, sarebbe altrettanto “reale” dei vari oggetti). Per questo motivo, a proposito della sua teoria dello spazio e del tempo, Kant parla di “idealismo trascendentale” e di “realismo empirico”. Contro l’interpretazione relazionistica-concettualistica Kant afferma che spazio e tempo non possono venir riguardati alla stregua di concetti, in quanto essi hanno una natura intuitiva e non discorsiva, perché noi, ad esempio, non astraiamo il concetto di spazio dalla constatazione dei vari spazi, ma intuiamo i vari spazi come parti di un unico spazio, presupponendo in tal caso la rappresentazione originaria di spazio, che risulta quindi una “intuizione pura”. Inoltre la concezione dello spazio come relazione tra i corpi appariva a Kant pericolosamente relativistica e destinata ad urtare contro difficoltà concernenti il moto locale. Crollata la concezione greco-mediovale dei “luoghi naturali” nasceva il problema di reperire un punto di riferimento rispetto a cui si potesse parlare di moto locale. Infatti, in relazione a che cosa si dice che un corpo è in quiete o in moto? E come distinguere il moto reale da quello apparente? Perché si sostiene ad esempio che è la nave che si allontana dalla riva e non la riva che si allontana dalla nave? Per risolvere questi problemi, senza ricorrere ad una interpretazione relativistica del moto locale (sostenuta da Leibniz, ma lontana dalla mentalità prevalente dell’epoca) Newton era ricorso alla teoria dello spazio assoluto. Kant, nel corso delle sue decennali meditazioni in proposito, pur simpatizzando talora con Leibniz, aveva finito per accogliere le teorie newtoniane, ritenendo che soltanto esse fornissero una stabile piattaforma alla fisica e fossero in grado di risolvere i sopracitati problemi di dinamica. Tuttavia, rifiutando l’interpretazione oggettivistica dello spazio e del tempo, come realtà a sé stanti, aveva pensato di salvarne l’assolutezza in modo soggettivistico, considerandoli delle condizioni a priori del conoscere, ovvero delle coordinate fisse ed universali (= assolute) dell’esperienza feriomenica. In tal modo, partendo dal soggetto, Kant credeva di aver giustificato quell’assolutezza dello spazio e del tempo che Newton aveva cercato invano nell’oggetto. Nella “esposizione trascendentale” Kant giustifica ulteriormente l’apriorità dello spazio e del tempo mediante talune considerazioni epistemologiche sulla matematica, volte, nel contempo, ad una fondazione filosofica della medesima. Kant vede nella geometria e nell’aritmetica delle scienze sintetiche a priori per eccellenza. Sintetiche (e non analitiche) in quanto ampliano le nostre conoscenze mediante costruzioni mentali che vanno oltre il già noto. Ad esempio, la proposizione 7 + 5 = 12, osserva Kant, è sintetica in quanto il risultato 12 viene aggiunto tramite l’operazione del sommare e non può quindi esser ricavato per via puramente analitica. Ciò risulta evidente se si prendono in esame cifre più alte: ad esempio la semplice analisi mentale dei concetti aritmetici 62.525 + 48.734 non può affatto suggerirci il loro risultato, che occorre invece far scaturire sinteticamente mediante un calcolo, il quale soltanto ci fa scoprire la somma dei suoi addendi. Inoltre, le matematiche sono a priori (e non a posteriori) in quanto i teoremi geometrici ed aritmetici – come insegna una tradizione di pensiero che va da Platone a Hume – vengono sviluppati indipendentemente dall’esperienza.

 

Qual è, allora, il punto di appoggio delle costruzioni sintetiche a priori delle matematiche? Kant non ha dubbi che esso risieda nelle intuizioni di spazio e di tempo. Infatti la geometria è la scienza che dimostra sinteticamente a priori le proprietà delle figure mediante l’intuizione pura di spazio, stabilendo ad esempio, senza ricorrere all’esperienza del mondo esterno, che fra le infinite linee che uniscono due punti la più breve è la retta, che due parallele non chiudono uno spazio, che in una circonferenza il raggio è minore del diametro ecc. Analogamente, l’aritmetica è la scienza che determina sinteticamente a priori la proprietà delle serie numeriche, basandosi sull’intuizione pura di tempo e di successione, senza la quale lo stesso concetto di numero non sarebbe mai sorto. In quanto a priori, la matematica è anche universale e necessaria, immutabilmente valida per tutte le menti pensanti.

 

Per quale ragione, allora, le matematiche, pur essendo una costruzione della nostra mente, valgono anche per la natura? Anzi, perché tramite esse siamo addirittura in grado di fissare anticipatamente delle proprietà che in seguito riscontriamo nell’ordine fattuale delle cose? Che cosa garantisce questa stupefacente coincidenza, su cui fa leva la fisica? A questi interrogativi di filosofia della scienza, Galileo, sulla base della sua epistemologia realistica, aveva risposto sostanzialmente che Dio, creando, geometrizza, postulando in tal modo una struttura ontologica di tipo matematico. Kant, avendo dichiarato inconoscibile la cosa in sé, non poteva certo presupporre simili “armonie prestabilite”. Escludendo ogni garanzia di tipo metafisico e teologico, egli afferma invece che le matematiche possono venir proficuamente applicate agli oggetti dell’esperienza fenomenica poiché quest’ultima, essendo intuita nello spazio e nel tempo – che sono anche i cardini della matematica – possiede già, di per sé, una configurazione geometrica ed aritmetica. In altre parole, se la forma a priori di spazio con cui ordiniamo la realtà è di tipo euclideo, risulta evidente che i teoremi della geometria di Euclide varranno anche per l’intero mondo fenomenico.

 

 

 

 

 

LIMITI STORICI DELL’EPISTEMOLOGIA KANTIANA IN RELAZIONE ALLA SCIENZA SUCCESSIVA.

 

 

L’originalità della costruzione kantiana non esclude che essa, epistemologicamente parlando, presenti taluni limiti oggettivi di fondo in relazione agli sviluppi successivi della scienza. Infatti, il criticismo approda ad una epistemologia assolutistica che, dando per scontata la verità universale e necessaria della matematica e della fisica dei suoi tempi, cerca di legittimarne in modo definitivo i princìpi teorici, ancorandoli, come sappiamo, alla struttura stessa della mente umana, concepita come sistema fisso e metastorico di forme a priori. In tal modo, Kant ha finito per “dogmatizzare” l’universo euclideo e quello newtonianao, ritenendoli “naturali” per il nostro intelletto. Questa ricerca di “certezze” epistemologiche – che allontana Kant dalle “inquietudini” di Hume e lo avvicina alla mentalità tradizionale – anziché costituire la forza della sua filosofia si è rivelata, con il tempo, la trappola mortale della dottrina criticistica: la quale avrebbe richiesto, per mantenere la sua validità, la persistenza della scienza negli schemi nei quali Kant l’apprendeva. Ma questo non è avvenuto. Quell’unità strutturale rigida che la scienza di allora riteneva propria del mondo, e della quale le categorie kantiane costituivano la controparte trascendentale è stata infranta, poiché dall’Ottocento ai giorni nostri, si è verificata, nel seno stesso della scienza, una rivoluzione tale che ha messo in crisi l’impalcatura della matematica e della fisica “classica” – e quindi, indirettamente, l’epistemologia e la gnoseologia di Kant. Questo non esclude che agli occhi degli scienziati e degli epistemologi le due dottrine di fondo della Ragion pura – l’impossibilità di varcare i confini dell’esperienza e l’importanza del soggetto nella conoscenza – conservino tuttora la loro validità.

 

 

 

 

IL PROBLEMA DELL’EVIDENZA: IL “NEO” DI EUCLIDE

 

Abbiamo detto che alla base della solidità riconosciuta al sistema euclideo stava il concetto di intuizione e – ad esso correlato – quello di evidenza. Su questa linea si era mosso lo stesso Kant. Ora il problema sta nel fatto che il concetto di evidenza non è affatto evidente, e a trasformare la concezione euclidea degli assiomi (intesi esattamente come principi veri, auto-evidenti e fondanti gli ulteriori asserti di una scienza) concorsero in maniera rilevante proprio le vicende della geometria euclidea. E’ quello che ci apprestiamo a vedere. In realtà fin dai tempi di Euclide c’erano dubbi e perplessità. Difatti, il sistema di Euclide aveva mostrato almeno un “neo”. Tra l’altro abbastanza vistoso. Si tratta – come abbiamo già intravisto – del famoso “Quinto postulato”, che fin dalla sua apparizione non aveva affatto convinto.

 

Euclide lo aveva formulato in questi termini: “Se una retta, incontrando altre due rette produce due angoli interni giacenti dalla stessa parte, minori di due angoli retti, quelle rette, prolungate all’infinito, si incontrano dalla stessa parte in cui stanno gli angoli minori di due retti”.

 

Questo postulato ci dice che, dati in un piano una retta s e un punto P fuori di essa, esiste nel piano una sola retta r passante per il punto P e parallela, nel senso che non la incontra mai, alla retta data. E questo si avrebbe quando la retta r e la retta s incontrano la retta t formando due angoli retti o due angoli la cui somma è uguale a due retti. Ora, però, tale proposizione non è evidente e PUÒ RISULTARE FALSA IN ALTRI MODELLI. Difatti, se il piano contenente la retta s e il punto P fuori di essa viene limitato alla zona interna del cerchio, allora si vede che vi sono molte rette passanti per P e che non incontrano s. Se aumentiamo il raggio del cerchio, diminuirà la quantità di rette passanti per P che non incontrano s. Ma esse rimarranno sempre di numero infinito.

 

 

È importante – a questo punto – riflettere sulla CONCEZIONE DELLO SPAZIO NELLA GEOMETRIA EUCLIDEA.

 

1) Abbiamo già visto che per Euclide l’evidenza è la garanzia della verità dei termini primitivi.

 

2) Abbiamo già accennato alla struttura logica degli Elementi di Euclide: Euclide era riuscito a stabilire il modello tipico, destinato a rimanere tale per oltre duemila anni, del rigore dimostrativo cui era giunta la matematica greca, fornendo una ineguagliabile esemplificazione di quella che può essere chiamata l’assiomatica antica. In tale assiomatica si riconosce la convergenza di due distinti criteri, l’uno, quello di dimostrabilità, puramente logico, l’altro quello di evidenza, di natura extralogica, che concorrono a costituire e caratterizzare l’insieme delle proposizioni “vere” di una teoria. Si tratta infatti, dopo aver stabilito dei termini e delle proposizioni primitive la cui intelligibilità, rispettivamente, verità, viene garantita, dall’evidenza, di ricavare ogni altra proposizione della geometria dimostrandola a partire dalle proposizioni e in base ai termini così ammessi (in funzione dei quali deve essere definito ogni altro termine introdotto nella teoria).

3) Abbiamo sottolineato il difetto di evidenza del quinto postulato: è chiaro infatti che in una regione piana, per quanto grande ma comunque accessibile ai nostri sensi o alla nostra intuizione diretta, dati una retta e un punto fuori di essa noi possiamo realmente pensare a infinite rette che passano per quel punto e non incontrano la retta data (discorso opposto se pensiamo di muoverci per esempio su di una superficie sferica); ora, affermare che al di fuori del campo della nostra possibile esperienza (campo che, per quanto grande, è pur sempre limitato) tutte quelle rette meno una incontrino la retta data è indubbiamente una impegnativa estrapolazione che ci porta ben al di là dei dati dell’osservazione e dell’intuizione.

 

Ora, il problema è proprio questo: quale “intuizione”, quale “auto-evidenza” potrà mai garantirci che questa situazione non sussisterà più quando il piano è illimitato?

 

 

È bene precisare anche che fin dall’inizio i tentativi di risolvere questo problema dell’evidenza – relativo al quinto postulato – furono tutti sostanzialmente rivolti a “ridurre” il postulato stesso a teorema o a sostituirlo con proposizioni più evidenti.

 

Riassumendo, l’ultimo postulato ha fatto impazzire generazioni e generazioni di matematici e di filosofi, poiché mentre i primi quattro postulati sembrano davvero auto-evidenti il quinto non lo è affatto. Se ne rileggiamo un’altra formulazione, è la sua non-evidenza ad essere del tutto evidente: “Date due rette intersecate da una retta tangente; se la somma degli angoli interni è minore di 180 gradi, queste rette si incontreranno prima o poi. Se la somma degli angoli interni è uguale a 180 gradi queste rette non si incontreranno”. Ora, se la somma degli angoli interni è di molto inferiore a 180 gradi allora è evidente che essi si incontreranno, ma se è di pochissimo inferiore, se la divergenza è minima, l’evidenza svanisce: certamente queste rette non si incontreranno nella nostra esperienza, forse si incontreranno all’infinito. Ma noi sappiamo che i Greci non amavano parlare di infinito. Ciò che il postulato non ci garantisce è che l’incontro avverrà nella nostra esperienza. Si tratta dunque di un postulato che non è auto-evidente. Dunque, come conclusione di questa sezione, abbiamo che il quinto postulato era un postulato dubbio.

 

Alcuni studiosi, a questo punto, hanno, continuato a sviluppare la geometria euclidea senza dare importanza alla questione dell’auto-evidenza.

 

Altri, con una sensibilità filosofica più profonda, hanno cercato di giustificare in qualche modo questa auto-evidenza, oppure dimostrare che nell’economia della geometria euclidea questo postulato non era necessario. Ovvero esso poteva essere considerato non come un principio primo, ma scaturiva dagli altri quattro postulati.

 

Abbiamo una serie di tentativi ingegnosi per far vedere che questo scomodo postulato fosse non un postulato ma scaturisse dagli altri quattro.

 

Il tentativo più intelligente è – come vedremo – quello di Saccheri: egli – nel tentativo di far vedere che si poteva fare a meno del quinto postulato – trovò, senza rendersene conto, dei contenuti propri delle geometrie non-euclidee. Saccheri voleva dimostrare che era impossibile che questo postulato fosse falso. Per far questo provò ad immaginare delle situazioni in cui questo principio fosse vero per far vedere che la situazione era contraddittoria. [ dimostrazione per assurdo]. Ma non ci riuscì.

 

 

 

 

LA NASCITA DELLE GEOMETRIE NON-EUCLIDEE

Possiamo dire che in sostanza la nascita delle geometrie non-euclidee è dovuta al tentativo di confermare la geometria euclidea, al di là del quinto postulato. Come abbiamo detto già i primi commentatori degli Elementi cercarono di eliminare dalla sistemazione euclidea il “neo” rappresentato dall’assunzione del quinto postulato, costruendo in questo modo una serie di tentativi che – nel corso dei secoli – portarono infine alla scoperta delle geometrie non-euclidee.

 

Per quanto diversi, tutti questi tentativi possono sostanzialmente farsi rientrare in uno dei seguenti tre tipi, non necessariamente escludentisi fra loro:

 

  1. a) assunzione di una definizione di rette parallele diversa da quella euclidea;

 

  1. b) sostituzione del quinto postulato con un’altra proposizione più intuitiva, ossia la cui verità risultasse più “evidente”, e quindi di più facile accettazione

 

  1. c) dimostrazione del postulato come teorema, deducendolo dai quattro postulati rimanenti.

 

Tra questi diversi tentativi abbiamo già sottolineato l’importanza di quello di Gerolamo Saccheri. Quali sono i motivi dell’originalità di Saccheri rispetto ai suoi predecessori? Sostanzialmente due.

 

 

 

 

 

Nella sua opera “Euclides ab omni naevo vindicatus” (Milano, 1733), Saccheri

 

1) affronta la questione “da logico” (non cerca cioè di sostituire il postulato con una diversa ipotesi o di variare opportunamente la definizione di rette parallele, ma applica il metodo di ragionamento già elaborato nella sua precedente opera per dimostrare che il quinto postulato è una conseguenza logica dei rimanenti quattro). Come procede Saccheri in questo tentativo? Egli prova a negare il postulato delle parallele nella convinzione di poter ricavare da questa negazione una conseguenza logica incompatibile con il resto degli assiomi di Euclide (i quali – ricordiamolo – erano basati sull’evidenza e pertanto ritenuti inconfutabili, cioè “veri”, “reali”). In questo modo – secondo Saccheri – si sarebbe dimostrato che conseguenza degli assiomi e della negazione del quinto postulato è un assurdo, quindi che dagli assiomi è ricavabile la negazione della negazione del quinto postulato cioè il postulato stesso.

 

2) Proprio per questo suo tipo di approccio generale, Saccheri è il primo a prendere in esame tutte le possibilità che una negazione del postulato in questione comporta e in tal modo egli può considerarsi come precursore di entrambe le geometrie non euclidee successivamente scoperte, ossia tanto della geometria ellittica quanto di quella iperbolica.

 

Gerolamo Saccheri

 

Nel suo sforzo di mostrare l’assurdità della negazione del quinti postulato, Saccheri mostrò una serie di deduzioni dalle quali si ricavavano teoremi che, al lume dell’intuizione, erano mostruosi. Ma la mostruosità non è incoerenza e l’intuizione può ingannarci. Non ci inganna però la corretta deduzione di proposizioni contraddittorie. E Saccheri, avendo prima commesso qualche errore, incontrò la contraddizione che cercava e pensò così di aver raggiunto lo scopo che si prefiggeva. In realtà, senza accorgersene, aveva costruito la prima geometria non-euclidea. Questa, però, doveva aspettare ancora circa un secolo per venire consapevolmente costruita e sviluppata. Difatti, fu al principio del secolo XIX che il grande matematico Karl Friedrich Gauss vide con tutta chiarezza la non dimostrabilità del quinto postulato e la possibilità di costruire sistemi geometrici diversi da quello euclideo. Gauss non pubblicò queste sue ricerche per paura degli “strilli dei beoti”. E la gloria della fondazione della geometria non-euclidea spetta all’ungherese Bolyai (1802-1860) e al russo Lobacevskij (1793-1856), i quali, verso il 1826, portano a compimento, indipendentemente l’uno dall’altro, la costruzione di una geometria, dove il postulato della parallela non vale più. Difatti, la caratteristica di fondo della geometria iperbolica (così venne successivamente chiamata la geometria non-euclidea di Lobacevskij) è che essa si ottiene sostituendo il postulato della parallela con la sua pura e semplice negazione.

 

 

 

 

 

Ma torniamo un attimo a Gauss, perché è con Gauss che emerge il nesso con la concezione kantiana.

 

 

GAUSS

 

 

Gauss era ancora studente a Gottinga quando incominciò ad occuparsi del problema dell’indipendenza del quinto postulato. In un primo momento Gauss era ancora sotto l’influenza della teoria kantiana dello spazio, e sotto questa influenza cercava di dimostrare il quinto postulato dopo aver criticato e aver fatto piazza pulita dei tentativi dei suoi illustri predecessori. Soltanto in un secondo momento Gauss ‘gli riconosce l’impossibilità intrinseca di dimostrare il postulato e si convince della legittimità di una sua contestazione. Il fatto è che era così forte l’influsso della filosofia kantiana che i matematici che cominciarono a pensare alle geometrie non-euclidee, tra i quali anche il grande Gauss, non pubblicarono i loro risultati temendo il confronto con il privilegio di cui questa filosofia godeva. Temevano le critiche feroci della comunità scientifica, saldamente ancorata ai principi della filosofia kantiana. Per fortuna Gauss non era l’unico ad avere realizzato degli studi sulle geometrie non-euclidee. Alcuni giovani studiosi cominciarono a pubblicare le loro ricerche e sull’onda si inserì il lavoro di Gauss. Ma a noi interessa a questo punto concentrarci su un altro aspetto, e mettere in evidenza la contraddizione tra la concezione kantiana e la formulazione delle geometrie non-euclidee.

 

Il fatto è che le geometrie non-euclidee ed euclidea costituiscono dei sistemi geometrici molto diversi, che sono incompatibili tra di loro. Essi sono tutti matematicamente sensati, ma non intuitivamente sensati: ad essere intuitivamente sensata è solo la geometria euclidea.

 

La questione – filosofica, anzi, metafisica – che si pone è allora: qual è la “vera” geometria. O, in altri termini, com’è “davvero” lo spazio in cui viviamo? E qual è l’organo per comprendere questo livello della realtà? La “vera” geometria è per forza quella che a noi appare più intuitiva? E’ chiaro che non esiste alcuna ragione “a priori” per scegliere una geometria non-euclidea piuttosto che un’altra. Esiste (esisteva) l’opinione di Kant che tuttavia era ed è appunto una opinione [o “convinzione”, o – per usare un termine forte – una sorta di “postulato”] secondo la quale la geometria euclidea descriveva la forma a-priori dello spazio. Il fatto curioso è che per qualche tempo si è pensato che magari esisteva una giustificazione a-posteriori. Si è pensato allora di fare misurazioni nel mondo reale e di vedere quali sono le leggi geometriche che concordano con tali misurazioni. Si poneva così il problema di quale geometria servisse al fisico quando questi si occupa del mondo esterno. E allora cominciarono, proprio in corrispondenza della nascita delle geometrie non-euclidee, a fare degli esperimenti empirici, delle misurazioni del mondo “reale” (nel senso di “empirico”). Sembrò allora che la geometria euclidea fosse quella più giusta. Ma era tutto molto approssimativo perché gli strumenti di misurazione erano approssimativi. Molto dipende dalla teoria degli strumenti di misura che si adottano e faceva notare lo stesso Riemann2, sebbene per la realtà macroscopica le cose sembrano andare in base alle leggi della geometria euclidea, nel “molto piccolo” – cioè ad un livello microscopico della realtà – serve una teoria di un altro tipo. In sostanza non si poteva escludere che, o con strumenti di misurazione diversi, o in una ambiente macroscopico o microscopici la struttura dello spazio fosse diversa da quella che emergeva dalle prime “misurazioni” del mondo empirico. Si escluse allora che ragioni a posteriori avrebbe consentito di individuare l’esattezza di una geometria piuttosto che un’altra. E infatti, molto tempo dopo, con Einstein si vide che la geometria di cui si ha bisogno per studiare l’universo è certamente non-euclidea, mentre quella sulla terra sembra ubbidire alla geometria euclidea. Ma a noi questo ora interessa poco.

 

Che cosa possiamo dedurre da quanto abbiamo detto? Abbiamo constatato che probabilmente non esisterà né una ragione a-priori né una ragione a-posteriori per scegliere tra le varie teorie. Proprio a partire da questa consapevolezza vi fu un grande cambiamento di prospettiva: si cominciò a pensare che forse non aveva molta importanza occuparsi della “verità” di una teoria e della sua “reale” corrispondenza con la realtà, con il “mondo empirico”. Si cominciò a diffondere l’idea che la “verità” sarebbe stata forse sempre un problema esterno alle teorie matematiche. Quello che doveva essere stabilito al di fuori di ogni dubbio era che ogni sistema fosse coerente ovvero non -contraddittorio. E’ a questo punto che si verifica una radicale rottura di prospettiva.

 

Una teoria contraddittoria non poteva comunque essere utilizzata. E questo riguardava sia la geometria euclidea sia quelle non-euclidee. Bisognava assicurarsi della non contraddittorietà di queste teorie. Ciò che noi dobbiamo sottolineare è che proprio il tipo di “strumentazione concettuale” utilizzato per porre in essere questa indagine portò alla nascita della logica moderna.

 

 

 

IL NESSO “FORMA-FORMALE”

 

 

La logica formale

 

 

Per affrontare il problema della dimostrazione della non-contraddittorietà delle geometrie non euclidee c’era bisogno di uno strumento logico in grado di dimostrare che all’interno di una teoria non vi fosse una contraddizione. Cosa significa “dimostrare che una teoria è coerente (o non-contraddittoria)”? Vuol dire anzitutto dimostrare che in essa è impossibile costruire una contraddizione. Ma la “costruzione di contraddizione” è precisamente un affare da logico: sono i logici che – nella loro attività – si occupano di verificare le contraddizioni interne alle varie teorie. In sostanza ci troviamo qui di fronte ad un problema squisitamente logico.

 

Occorre a questo punto fare il punto della situazione. Riassumiamo le conseguenze più rilevanti di quanto abbiamo detto fino ad ora:

 

1) L’idea kantiana che la geometria euclidea rappresentasse una descrizione “vera” e “a priori” delle nostre intuizioni si è rivelata infondata o per lo meno non giustificabile in modo così pacifico come fino alla scoperta delle geometrie non euclidee si era ritenuto. Dopo le scoperte di Gauss, Boylai e Lobacevskij, la geometria euclidea non poteva più essere considerata “a priori” e nemmeno “vera”. Ma questo non nel senso che fosse “falsa”, ma nel senso che non era più il caso di parlare di “verità” e di “falsità” delle teorie matematiche.

2) In secondo luogo, se il problema della giustificazione di una teoria matematica è quello di dimostrarne la contraddittorietà, tutta la matematica riceve la sua giustificazione da un’indagine di tipo logico. Si tratta di una conseguenza di radicale importanza, che avrà enormi sviluppi. I fondamenti della matematica diventano così dei fondamenti che si possono cogliere e giustificare solo da un punto di vista logico.

3) In terzo luogo, la validità dell’intuizione, dell’auto-evidenza come criterio di verità fu messo in discussione e abbandonato. Fino alla scoperta delle geometrie non-euclidee i “principi primi” dovevano essere auto-evidenti. La loro evidenza garantiva la loro verità e loro verità doveva garantire la verità di tutta la scienza che da quei principi veniva dedotta. Ma d’ora in poi – almeno per quanto riguarda la scienza matematica – i principi primi non sono più autoevidenti, forse non sono nemmeno veri. Anzi, la loro verità probabilmente non si può stabilire. Tutto quello che si potrà stabilire è che essi “non siano contraddittori”. La matematica riceveva quindi la sua giustificazione da ciò che stabiliva la logica. Emerge qui il nesso tra matematica e logica formale.

 

Perché parliamo di logica formale?

 

Abbiamo detto che con la scoperta delle geometrie non-euclidee cominciò a farsi strada l’idea che i fondamenti di una scienza non potevano essere riconducibili a delle verità auto-evidenti. Tutto l’impianto scientifico aristotelico cadeva, poiché tutte le scienze aristoteliche erano costruite attraverso la deduzione di teoremi a partire dai principi primi auto-evidenti. Anche la geometria euclidea si fondava su questo modello. Questo tipo di struttura entrò in crisi. Cominciò a circolare l’idea che la scienza può esistere senza essere costruita su principi auto-evidenti. Anzi, il concetto di auto-evidenza cominciò ad essere sospetto.

 

In particolare, l’attenzione si veniva a spostare sull’analisi della non contraddittorietà interna delle geometria. La risposta che fu data a questo problema segnò la nascita della logica matematica di tipo formale.

 

La risposta che venne data a questo interrogativo (come dimostrare la non-contraddittorietà interna ad una teoria) non fu definitiva (né poteva esserlo). Non si dimostrò la non-contraddittorietà di ciascuna geometria ma si dimostrò una non contraddittorietà “relativa”. Non “assoluta” quindi, ma “relativa”. Si dimostrò che se la geometria euclidea è non contraddittoria allora sono non contraddittorie anche le geometrie non euclidee. Quindi la dimostrazione della non contraddittorietà delle geometrie non euclidee è relativa alla dimostrazione della non contraddittorietà della geometria euclidea. Procedura: sulla base dell’ipotesi della non contraddittorietà della geometria euclidea si tentò di dimostrare la non contraddittorietà delle geometrie non euclidee. E si fece anche l’inverso. Se quelle non euclidee sono non contraddittorie allora anche quella euclidea è non contraddittoria. Non è una dimostrazione di non contraddizione assoluta. Si tratta solo dell’ipotesi che le altre non siano contraddittorie.

 

Ma come si procede per portare a termine una operazione di questo tipo? Si cerca di mettere in evidenza la struttura logica della geometria euclidea e si fa vedere che questa struttura logica va bene anche per quelle non euclidee. In altre parole: la stessa struttura logica della geometria euclidea si può applicare alle geometrie non euclidee. Sostanzialmente si assume che se le varie geometrie rispondono ad un criterio di logicità interno uguale per tutte allora esse sono non contraddittorie e dunque valide.

 

In questa operazione viene utilizzata appunto la logica formale, fatta di simboli. I simboli non rappresentano un contenuto specifico: sono dei contenitori logici con i quali si possono svolgere delle operazioni. Un po’ come accade per i numeri. Quando sommiamo il due al cinque a abbiamo come risultato sette. E questo funziona sia con le mele che con i cavalli. A prescindere dall’oggetto specifico cui si può fare riferimento.

 

Logica formale. Si tratta di una logica molto diversa da quella aristotelica, che ha regnato incontrastata per duemila anni e oltre. Questa nuova logica che nasce alla fine dell’800 si chiama all’inizio logica simbolica e dopo si chiamerà più semplicemente logica matematica o formale. La differenza sostanziale rispetto alla logica aristotelica riguarda la struttura delle proposizioni di cui questa nuova logica è in grado di occuparsi (struttura che è molto più complessa rispetto ad Aristotele), ma in questo momento l’aspetto più importante è quello di distinguere nel linguaggio tra due aspetti: l’aspetto sintattico, ovvero l’aspetto puramente grammaticale, strutturale delle proposizioni, l’aspetto simbolico, privo di contenuti; e quello semantico, che riguarda il contenuto associato a questa struttura. Si tratta – per capirci – della distinzione tra la cosa scritta come simbolo con le lettere dell’alfabeto (l’aspetto puramente formale) e l’altro aspetto, ovvero il contenuto associato alla successione dei simboli. Il distinguo tra forma e contenuto, tra sintassi e semantica, è una conquista fondamentale della logica contemporanea. Ecco perché parliamo di logica formale e di formalismo. Perché la logica contemporanea, tra le altre cose, studierà anche i rapporti tra i simboli e le possibili interpretazioni e i possibili contenuti che verranno dati ai simboli.

 

A questo punto possiamo aprire una ulteriore parenbtesi. Questa distinzione tra simbolo e contenuto nasce in realtà, anche se non viene pienamente riconosciuta, nel Seicento in concomitanza all’esplosione dell’attività commerciale. Lo sviluppo economico è stato infatti una delle concause della nascita della scienza moderna. Il pensiero matematico poco a poco divenne una specie di modello astratto del pensiero in generale. Basti pensare alla famosa affermazione di Galileo per la quale il libro della natura è scritto in simboli matematici. La matematica diventa il linguaggio di cui ci si serve per parlare della natura. La matematica si sta ampliando perché dimostra di essere sempre più suscettibile di tante applicazioni. Per esempio Galileo la applica alla fisica, ma serve anche per fornire rudimenti di algebra per chi si occupa di attività commerciali e così via. Per la prima volta si affaccia l’idea che ci sia qualche cosa che può essere applicata a qualcosa d’altro. C’è un linguaggio che ha un suo contenuto autonomo ma che può essere applicato anche ad altri contenuti. Nasce l’idea che si possa distinguere tra la struttura e la sostanza strutturata. Questo tipo di idea guadagna terreno anche all’interno della stessa matematica perché si vede per la prima volta che i simboli possono rappresentare dei numeri specifici, come all’interno delle equazioni. Prima le equazioni erano date su numeri specifici. Ora avremo equazioni con x e y che rappresentano coppie di numeri qualunque presi a piacere. Si tratta di un linguaggio simbolico, formale. E questo ha avuto un beneficio immenso all’interno della matematica perché si è cominciato a riconoscere la forma delle equazioni. Prima la forma delle equazioni era infatti espressa con parole e non con simboli. Anche questo è un piccolo processo di astrazione della forma dal contenuto. Leibniz già in parte comprende nel suo pensiero delle conquiste di questo tipo. Egli credeva fosse possibile creare un linguaggio universale che doveva essere un linguaggio che metteva ben in evidenza la struttura del pensiero. Dopo di che, nelle previsioni di Leibniz, grazie a questo linguaggio simbolico ottenuto si sarebbe potuto operare in maniera aritmetica e algebrica e capire quali erano le conseguenze, quale simbolo era contenuto in un altro e così via. Era insomma un modo per matematizzare non solo le argomentazioni ma la struttura stessa del pensiero. Leibniz parte dal presupposto che il ragionamento sia rappresentazionale cioè che si possono usare dei simboli scritti sulla carta oppure addirittura come componenti all’interno di una macchina. C’era già l’idea che il cervello potesse essere sostituito ad una macchina. Leibniz stesso aveva inventato una macchina per fare calcoli aritmetici. Egli proponeva insomma questa immagine: il pensiero può essere tradotto in simboli come se si trattasse di componenti di un meccanismo. Questi simboli dovevano essere rappresentativi dei concetti che troviamo nella realtà. E anche degli oggetti che troviamo nella realtà. E allora ci potevano essere dei simboli per gli oggetti e dei simboli per i concetti che sono presenti o che caratterizzano in qualche modo gli oggetti. Una specie di elencazione attraverso i simboli di come era fatta la realtà. Era un’idea molto primitiva di cosa voleva dire asserire delle verità. Credeva che, avendo dei simboli per i vari oggetti e per i vari individui, si potessero risolvere dei problemi del tipo se un concetto sia o meno contenuto in un altro. Per esempio l’essere razionale fa parte dell’essere uomo? Per risolvere questi tipi di problemi occorreva rifarsi alla loro trascrizione simbolica, per vedere se si trattava di un’identità di concetti, di una loro inclusione o di una distinzione. Utilizzando quindi una sorta di logica formale ante litteram. Però in Leibniz non abbiamo ancora una definitiva scissione tra forma e contenuto. Per Leibniz i simboli sono saldamenti attaccati ad un contenuto specifico che dovrebbero far trasparire. Dovevano riflettere i concetti di cui erano i simboli. Abbiamo si l’idea di una trascrizione formale, ma si tratta di una trascrizione formale molto parziale perché saldamente attaccata alla realtà che sta formalizzando. Cioè è un altro linguaggio per parlare della realtà, ma non si discosta da essa, non sono due entità separate. Questo modo di vedere i simboli sarà vero fino alla fine dell’800. L’idea di un simbolo che gode di vita propria è un’idea molto avanzata che non si trova nella storia della filosofia fino alla fine dell’800.

 

 

 

KANT E IL FORMALISMO

 

Il definitivo balzo avanti al formalismo si deve però proprio Kant. Ed è senz’altro paradossale che proprio uno dei padri del formalismo sia responsabile della fine della fede assoluta nella concezione esclusivamente euclidea dello spazio fisico. Kant è responsabile di un importante e – direi – definitivo balzo in avanti, soprattutto in relazione al concetto di struttura. È intrinseco alla concezione kantiana del mondo l’idea che quello che noi chiamiamo “la nostra esperienza della realtà” non coincide necessariamente con la realtà stessa. E questa è una enorme rivoluzione (si noti: che implicitamente va contro Kant stesso, contro la sua convinzione che lo spazio avesse le caratteristiche e la conformazione dello spazio euclideo). Prima di Kant l’identità tra l’osservazione della realtà e la realtà stessa era data per scontata. Non vi era nessuna frattura. Magari si sapeva e si accettava che non si potesse conoscere tutta la realtà, nella sua completezza, ma ciò che si conosceva era la realtà in tutta la sua potenza; ciò che veniva conosciuto corrispondeva esattamente a ciò che c’era. L’ontologia coincideva con l’epistemologia. La conoscenza è la verità. Ciò che si conosce è vero. Con Kant abbiamo una situazione completamente nuova. Il soggetto conoscitivo è un soggetto attivo che in qualche modo costruisce la realtà. E questa operazione viene sviluppata mediante delle strutture mentali. Quindi la conoscenza per Kant non fornisce una mappa della realtà. Fornisce qualcosa di intelligibile che proviene si dalla realtà ma soprattutto dall’apparato di comprensione che noi utilizziamo nel rapportarci alla realtà. Da questo momento in avanti i pensieri non furono più semplici descrizioni ma degli artefatti, che tipo di artefatti? I sensi ci danno delle informazioni che vengono per così dire sintetizzati dall’applicazione di concetti, di regole che vengono dal soggetto stesso. È questo il nesso che fece fare un passo in avanti al formalismo, anche se Kant stesso non poteva cogliere questo aspetto della sua filosofia. C’è una distinzione tra i dati in arrivo ai sensi, ovvero i contenuti e dopo c’è tutta la struttura che viene imposta ai dati dei sensi e che produce quello che noi chiamiamo il mondo intorno a noi. Quindi la struttura proviene dal soggetto epistemico, dal soggetto che conosce, i contenuti dall’esterno. Si può dire che questa distinzione che in filosofia non fu accolta immediatamente venne recepita un secolo dopo dalla matematica. I matematici stabilirono una netta differenza tra un sistema di simboli non interpretati e l’interpretazione di questo sistema di simboli. Siamo alla fine dell’Ottocento. Altre novità ci saranno all’inizio del Novecento, allorché si comprende che ogni sistema di simboli può dar luogo a molteplici interpretazioni. Ma alla fine dell’ottocento le autonomie sono chiare. Sistemi di simboli con regole applicabili a questi simboli che si muovono da sé senza dover essere interpretati. Si tratta di simboli astratti. La rivoluzione kantiana, che fa pensar che la struttura è così importante da determinare delle regole per determinare la realtà, è stata quindi determinante per la nascita della matematica astratta. A questo punto abbiamo già l’idea che i simboli hanno una vita propria perché sono oggetti che obbediscono a certe regole ed è quello che si studia. Si studiano simboli ed operazioni su simboli. Siamo insomma al livello della logica formale. E come si diceva prima la cosa curiosa è che questo era già il tipico modo di procedere di Kant. Lo abbiamo visto nella sua impostazione etica, quando abbiamo parlato della Critica della Ragion Pratica: il suo scopo è fondare un’etica formale, sciolta cioè da ogni riferimento empirico e giustificata in se stessa. Lo abbiamo visto nello stile: Kant scrive dei libri di filosofia come se si trattasse di libri di matematica: postulati, assiomi, deduzioni… E perché mai tutto ciò è curioso? Perché da un certo punto di vista la nascita delle geometrie non-euclidee si deve proprio a Kant. È vero: Kant pensava ad uno spazio euclideo, reale in quanto dotato di un grado di evidenza assoluto ed incontrovertibile. Ma Kant aveva espresso anche l’idea di un Io-regolatore, di una realtà che restava comunque non-conoscibile ecc. [approfondire fino all’Io penso].

 

Ora quello che qui interessa mettere in evidenza è che Kant è allo stesso tempo precursore della solidità e della crisi della concezione euclidea dello spazio.

 

Concludendo questa parentesi ricordiamo che nella filosofia di Kant lo spazio occupa un posto assolutamente centrale: insieme al tempo, esso precede l’esperienza, ma all’interno del soggetto. È definito come una forma a priori della sensibilità, congiuntamente al tempo. Il tempo è la forma a priori del senso interno, lo spazio è la forma a priori del senso esterno. La loro validità è limitata ai fenomeni: le cose in sé invece non sono accessibili. Lo spazio è per Kant un tutto unico, che non è possibile identificare con una sua parte speciale né esaurire in essa. Per questo riesce a contenere rappresentazioni infinite. Kant definisce la sua posizione come un idealismo formale oppure trascendentale per distinguerlo da quello di Berkeley: il termine formale o trascendentale si riferisce appunto al fatto che riguarda il nostro modo di conoscere le cose, in quanto è possibile a priori. Kant riesce in questo modo a salvare la scienza newtoniana dagli attacchi che le vengono rivolti ma senza stabilire, come Newton, uno spazio assoluto. In ogni caso Kant resta saldamente ancorato alla concezione euclidea dello spazio piano, anche se, come abbiamo visto, a Kant si devono le premesse per la nascita della logica formale, quella nuova branca filosofica e matematica che stabilisce la validità delle teorie senza occuparsi più della verità empirica degli enti e degli oggetti ai quali esse si riferiscono.

 

 

Sono emersi molti problemi. Quello della forma, quello del rapporto tra forma e materia, quello della verità di una teoria (e – più in generale – di una proposizione).

 

 

 

 

LA VERITÀ: SINTASSI E SEMANTICA.

Una definizione univoca di verità. non è possibile; il termine ha infatti, anche nel linguaggio comune, due accezioni fondamentali: a) in senso ontologico, “vero” è ciò che è, è una proprietà dell’essere; il suo opposto è sia “falso” (ciò che non è) sia “apparente” (ciò che sembra); alla filosofia interessa particolarmente l’opposizione vero/apparente, in quanto avverte come suo compito proprio lo smascheramento di ciò che appare, di ciò che sembra ai più, di ciò che resta alla superficie; b) in senso logico, la verità è la proprietà di un enunciato, quando esso corrisponde ai fatti (concezione semantica), oppure quando è coerente all’interno di un sistema dato (concezione sintattica), oppure quando mostra efficacia pratica (concezione pragmatica).

 

In particolare:

 

Concezione sintattica. Comprendiamo in questa sottoclasse tutte le teorie che ritengono che la verità di una proposizione consiste nella coerenza tra essa e il contesto in cui è inserita. Tale coerenza può peraltro essere interpretata in due modi radicalmente diversi, a seconda della natura del sistema di riferimento. Ove questo sia inteso nel significato idealistico di totalità assoluta (collegamento: l'”assoluto”), la verità di una proposizione viene ad essa comunicata dall’insieme, al quale propriamente spetta il titolo di Vero (Vero è l’Intero, sosteneva Hegel). Siamo in presenza, come si vede, della concezione metafisica della verità, di cui si è già detto. È altrettanto chiaro che per tale concezione è impensabile una pluralità di sistemi di riferimento, essendo l’Assoluto per definizione unico e onnicomprensivo. Diverso il discorso se si conviene sull’esistenza di sistemi diversi, per ciascuno dei quali la coerenza consisterà allora nella semplice non-contraddittorietà interna. È il caso dei sistemi formalizzati della logica e della matematica; esistono, per esempio, più geometrie, quella euclidea e quelle non-euclidee: una proposizione vera per l’una può essere falsa per le altre. [se è il caso:] a una conclusione simile è giunto l’indirizzo fisicalista dell’empirismo logico , il quale nega che per decidere sulla verità di un enunciato sia necessaria una verifica fattuale. Secondo Otto Neurath (1882-1945) per la scienza il fatto fisico è il linguaggio stesso; non esiste un livello prelinguistico, col quale il linguaggio sia in un rapporto di tipo “pittorico”; il riferimento ai fatti è questione privata, per sua natura incomunicabile. Su queste basi Rudolf Carnap (1891-1970) ha analizzato la componente sintattica del linguaggio, vale a dire l’insieme delle regole di formazione e di trasformazione delle proposizioni.

 

Concezione pragmatica. Per alcuni versi quest’altro punto di vista nasce dalla domanda che viene rivolta ai sostenitori della teoria della verità come non-contraddizione: se esistono diversi sistemi, quale scegliere? Si risponde: “quello più utile”, o “più efficace”, a seconda del campo d’indagine di cui ci si occupa; per esempio, la geometria euclidea va benissimo per descrivere lo spazio del mondo in cui viviamo, non funziona più se trattiamo dello spazio cosmico.

 

 

 

Platone

Nel nostro percorso abbiamo previsto anche un collegamento a Platone. Che c’entra Platone in tutto questo? Platone si è senz’altro occupato a fondo del problema della verità, ed è giunto a conclusioni che da un certo punto di vista sembrano straordinariamente in paragonabili agli sviluppi della scienza moderna. Anticipiamo subito la conclusione del discorso platonico: la spiegazione matematica del mondo fisico è e resterà sempre una scienza imperfetta, poiché imperfetto è il suo oggetto (diveniente, etc.). La matematica in sé, invece, [pura, diremmo noi in senso kantiano, cioè slegata dai contenuti empirici, ovvero “formale”] ha a che fare con le idee, e come tale viene utilizzata addirittura dal Demiurgo per plasmare – matematicamente – la materia empirica. La vera scienza è in ogni caso la dialettica [ed è straordinario notare come la dialettica dicotomica sia pensabile come un procedimento logico e formale al tempo stesso]: la dialettica è alla base di tutte le scienze, è la sola in grado di individuare i generi e di arrivare – nel suo processo ascensionale – al mondo delle Idee.

 

 

Platone si ricollega al percorso che abbiamo svolto almeno per cinque motivi:

 

1) per la sua distinzione tra forma e materia.

2) per la sua concezione della dialettica

3) per la sua concezione dello spazio che è conoscibile (sempre in modo imperfetto) solo se il Demiurgo lo plasma matematicamente.

4) per il nesso al platonismo matematico

5) per la sua concezione della verità.

 

 

 

 

 

 

Vediamo anzitutto di recuperare alcuni elementi che andranno poi inseriti in questo contesto (saranno gli studenti a stabilire come). Il primo punto che dobbiamo far riemergere – poi vedremo come collegarlo – è il tema della dialettica.

 

Vediamolo anzitutto da una prospettiva molto generale. Per questo ci può essere d’aiuto la lettura della voce “dialettica” dal “Dizionario di Filosofia” di Paolo Rossi.

 

 

 

 

 

Dialettica e sapere formale.

 

Nel linguaggio comune il termine dialettica è generalmente adottato con uno di questi significati: a) arte dell’argomentare in modo persuasivo; b) abilità nel sostenere le proprie tesi; da questo punto di vista essere “dialettici” significa spesso esser convincenti, ma anche non disdegnare di ricorrere a raggiri: dialettico, insomma, è colui che deve sempre cascare in piedi; c) l’azione reciproca di due o più forze all’interno di un sistema (per esempio, dialettica dei partiti).

 

 

Come in altri casi, anche in questo l’uso comune ha deformato il significato o i significati propri del termine. Dialettica è parola di largo uso in filosofia, ed è una delle parole-chiave del pensiero classico. Viene dal verbo greco dialéghestai, che significa “discutere”, o, più propriamente, “dialogare”. La dialettica è infatti l’arte del dialogo, ma anche della disputa. In quanto arte del dialogo è la capacità di discutere (dice Platone: “chi sa interrogare e rispondere, non lo chiami forse dialettico?”), e quindi di ricercare insieme la verità.

 

 

 

L’ideale della dialettica come ricerca è certamente un tratto distintivo del platonismo.

 

 

 

 

La dialettica in Platone

 

La tecnica del dialogo (dialectiké téchne) diventa in Platone l’arte della divisione dei concetti (meglio, delle idee) in generi e specie, allo scopo di condurre l’analisi e la discussione in modo più preciso. Platone sostiene che è questa l’operazione cui deve dedicarsi il filosofo-dialettico, perché si tratta del livello più elevato possibile della conoscenza, superiore alla stessa scienza. Infatti mentre quest’ultima ha ancora bisogno di riferirsi a dati sensibili e a figure (per esempio la geometria) e parte da principi presi come ipotesi, la filosofia studia le relazioni che esistono tra le idee pure e dimostra come esse discendono dal Bene.

 

Questo lavoro “dialettico” consiste in due momenti: con il primo si tratta di “abbracciare in uno sguardo d’insieme e ricondurre ad un’unica forma ciò che è molteplice e disseminato”; il secondo “consiste nella capacità di smembrare l’oggetto in specie, seguendo le nervature naturali, guardandosi dal lacerarne alcuna parte come potrebbe fare un cattivo macellaio” (Fedro, 265d-e). Si tratta in altre parole di distinguere un’idea dalle altre, di individuarne gli elementi e di percorrere le sue articolazioni interne attraverso successive divisioni. Quest’ultima operazione avviene attraverso un processo “dicotomico” (= divisione per due), a partire da un’idea generale. Se è il caso si riporta qualche esempio: se parto dall’idea di “pianta”, una prima divisione può essere tra “piante con fusto” e “piante senza fusto”; se voglio proseguire nella divisione dalla parte delle “piante senza fusto”, posso ulteriormente distinguere tra “arbusti” ed “erbe”, e così via, finché non giungo a un’idea non più divisibile, la quale risulta definita attraverso tutti i passaggi seguiti nel corso della divisione.

Come si vede, Platone in questo modo pone i fondamenti della classificazione scientifica; scopo della divisione dialettica è infatti la ricerca delle caratteristiche, della natura e delle possibilità degli oggetti.

 

 

Vediamo ora di ricollegarci alla concezione platonica e alla differenza che Platone ha stabilito tra dialettica e matematica.

 

 

 

 

 

 

La dialettica come scienza delle scienze

 

Trama: La dialettica come scienza di rapporti tra le idee: la dialettica come scienza delle scienze. La caratteristica principale del metodo matematico è costituita dalla presenza in esso di una procedura di natura ipotetico-deduttiva: ogni matematico parte da certe ipotesi che egli considera evidenti e non bisognose di venire a loro volta dimostrate. A partire da queste ipotesi, le quali vengono in realtà trattate come se fossero principi, i matematici deducono tutta una serie di conseguenze e dimostrano così i loro teoremi. Tuttavia, un metodo di questo tipo non consente di pervenire a un sapere autentico, cioè certo e assoluto, bensì a una sorta di accordo convenzionale (homologhìa), dal momento che anche le conclusioni e le dimostrazioni conserveranno quel carattere ipotetico proprio delle premesse dalle quali sono partite. Insomma, se lasciate a se stesse, le matematiche riescono a generare solo sistemi convenzionali che si accordano perfettamente con le premesse, ma non vere e proprie conoscenze.

Diverso è invece il caso del metodo dialettico. Anch’esso parte da ipotesi, cioè dalle idee stesse, le quali però vengono considerate per quello che realmente sono, cioè appunto delle ipotesi, e non come dei principi autoevidenti. Il dialettico ammette dunque l’esistenza di ciascuna idea e la definisce in un determinato modo. Ma, a differenza del matematico, egli non si limita a dedurre le conseguenze che derivano necessariamente dall’ammissione di una certa idea, bensì tenta di risalire in alto, verso il principio non ipotetico, di tutta la realtà, che poi è proprio l’idea del Bene. Una volta raggiunto e toccato questo principio, il dialettico potrà ridiscendere verso il basso, rimanendo nell’ambito delle idee, fino a raggiungere l’idea dalla quale era partito, e riuscire così a fondarla per mezzo del legame con il principio supremo.

 

 

 

 

La filosofia supera la matematica

 

TESI DA DISCUTERE: la filosofia supera la matematica perché è in grado di risalire “in alto, verso il principio non ipotetico, di tutta la realtà”: raggiunge in altre parole il terreno e la dimensione della METAFISICA.

 

In Platone l’intero procedimento dialettico avviene all’interno del cosmo intellegibile, senza che vi sia alcun ricorso a immagini sensibili, delle quali invece poteva servirsi nelle sue dimostrazioni lo studioso di geometria. Ma l’aspetto più importante del rapporto tra dialettica e matematica è probabilmente la possibilità che le procedure dialettiche forniscano il fondamento di verità delle ipotesi matematiche. In effetti, quelle stesse ipotesi che il matematico concepisce come principi, vengono trattate dal dialettico come vere ipotesi, punti di appoggio in direzione del principio non ipotetico. Dopo avere raggiunto e conosciuto questo principio, il dialettico può tornare all’ipotesi iniziale e considerarla legittimamente fondata. Ma se le cose stanno effettivamente in questi termini, sembra inevitabile concludere che agli occhi di Platone il riferimento al Bene consente di fondare in modo certo e assoluto ogni conoscenza e che aspetto corrisponde alla funzione di “causa epistemologica” ultima. Il Bene assolve dunque al ruolo di causa da quattro punti di vista: assiologico, gnoseologico, ontologico ed epistemologico. Se si escludono i due libri centrali della Repubblica ai quali abbiamo queste testimonianze Aristotele sostiene che Platone, nelle cosiddette “dottrine non scritte”, avrebbe assimilato il Bene all’Uno, concepito come principio assoluto di tutta quanta la realtà, e all’Uno avrebbe affiancato in funzione di contro-principio una diade indeterminata. Dall’azione combinata dell’Uno e della diade, deriverebbero le idee, e tramite esse tutti gli esseri. L’Uno assolverebbe alla funzione di principio e causa di unità, ordine e bene, mentre dalla diade dipenderebbero la molteplicità e, almeno nel cosmo sensibile, il disordine e il male. Ogni idea è in se stessa unitaria e tuttavia può articolassi in un complesso di idee che in essa risultano in qualche modo implicate. Cosi, per esempio, l’idea di uomo costituisce un principio unitario, ma al suo interno essa può implicare altre idee, come quella di animale e quella di bipede. Se le cose stanno in questi termini, occorre concludere che ogni idea ha al suo interno un momento di unità, che si fonda sul principiò dell’Uno-Bene, e un momento di m in qualche modo dipendente dalla diade indeterminata. La dialettica sembra così diventare una sorta di sapere relativo ai rapporti interni al mondo delle idee. Diventa cioè formale. Platone parte dalla convinzione che ogni idea presenti un’articolazione interna e che in generale il cosmo noetico si strutturi in una serie di rapporti di inclusione e di esclusione tra le singole idee. Un primo passo in direzione di questa concezione viene presentato nel Fedro, dove la dialettica è definita come l’arte di unificare la molteplicità e di dividere l’uniti secondo i rapporti effettivamente esistenti. l’arte di unificare la molteplicità e di dividere l’unità secondo i rapporti effettivamente esistenti.

 

Questa impostazione viene proseguita nel Sofista, dove Platone sviluppa lo studio della comunanza dei generi. Platone ha qui l’obiettivo di delineare i contorni generali di un sapere relativo ai rapporti tra le idee. Si tratta per la precisione di stabilire quali idee siano in comunicazione tra di loro e quali si escludano a vicenda. L’idea di moto, per esempio, sarà in comunicazione con l’essere, in quanto partecipa dell’essere dal momento che esiste, mentre non potrà comunicare con l’idea di quiete che è del tutto opposta a essa. Su questa via Platone sembra individuare alcuni generi supremi dei quali ogni altra idea deve partecipare: si tratta dell’essere, dell’identico e del diverso. Infatti ogni idea è, dunque partecipa dell’essere, è identica a sé medesima, e perciò ha parte all’identico, ed è diversa da tutte le altre, il che significa che partecipa anche del diverso. Il programma che viene prospettato consiste allora nello studio della comunanza dei generi (koinonía tón ghenón), cioè dei rapporti di inclusione reciproci, in una parola dell’intreccio delle idee; la realizzazione di un simile programma rappresenta nell’ultima fase del pensiero platonico il cardine della dialettica, la quale viene trasformandosi da conoscenza del Bene in una sorta di scienza universale dell’essere.

 

 

 

I due sensi di “formalismo” in Platone

 

 

“Partecipazione reciproca tra le forme”. Dal punto di vista filosofico generale, la concezione della comunanza dei generi implica due conseguenze di notevole spessore. La prima consiste nel fatto che Platone ammette la partecipazione reciproca tra le forme, vale a dire la possibilità che a prendere parte a una determinata forma non sia solo una realtà sensibile, ma anche un’altra idea. Del diverso in sé, per esempio, partecipiamo sia io e il mio attuale lettore, che siamo due persone diverse e dunque prendiamo parte a questo genere intelligibile, sia una qualsiasi idea, come il giusto in sé, che è diversa da un’altra idea, poniamo il santo in sé, e dunque partecipa del diverso. In verità, già nei dialoghi del periodo di mezzo Platone sembrava ammettere la partecipazione reciproca delle idee, ma solo nel Sofista questa intuizione viene sviluppata in modo sistematico.

 

 

Il concetto di non-essere relativo. La seconda conseguenza è ancora più significativa e ricca di influenze per la storia della filosofia. Concependo il diverso come uno dei generi sommi, Platone arriva ad ammettere il non essere come parte integrante e fondamentale dell’essere. Affermare infatti che una certa idea x è diversa da un’altra idea y, significa sostenere che x non è y, e dunque introdurre il non essere nel cuore dell’essere. Non si tratta di un “non essere” assoluto, come quello di cui aveva parlato Parmenide, bensì di un non essere relativo, vale a dire “non essere qualcosa di determinato”. Nel momento in cui io affermo che questo libro non è rosso, stabilisco una relazione di differenza che equivale in qualche modo all’ammissione del non essere, appunto come “essere diverso da”. Platone dichiara esplicitamente che una simile operazione comporta una sorta di parricidio, cioè di uccisione del padre, che poi è proprio Parmenide. Quest’ultimo aveva vietato senza appello la possibilità stessa di nominare e pensare il non essere; questo solenne e grandioso divieto, che nelle parole di Parmenide suonava: “mai sarà dimostrato che esista ciò che non è; tieni lontana la mente da questa via di ricerca”, viene esplicitamente infranto da Platone, il quale allo scopo di mostrare come è possibile il linguaggio e come è intelligibile la molteplicità, introduce il non essere proprio nel cuore dell’essere, cioè nel mondo delle idee.

 

 

Il Filebo: assimilazione delle idee ai numeri. L’ultimo grande dialogo dialettico composto da Platone è il Filebo. Nella prima parte di questo scritto viene di nuovo affrontato il tema delle relazioni tra le idee. La tesi centrale che Platone presenta consiste nel richiamo al carattere fondamentalmente numerico di questi rapporti. Anzi, egli arriva ad affermare che ogni idea si articola su basi numeriche e da un certo punto di vista può considerarsi addirittura un numero. Quest’ultima concezione presenta notevoli analogie con la famosa e misteriosa dottrina delle idee-numeri, che alcuni autori antichi considerarono parte integrante delle “dottrine non scritte” di Platone. Nel Filebo il nostro filosofo parte dalla constatazione che ogni cosa è costituita da due principi, il limite e l’illimitato, tra loro opposti. Anche le idee non si sottraggono a questa regola: ciascuna presenta al suo interno un momento di unità, dipendente dal principio del limite, e uno di molteplicità, riconducibile all’illimitato. Il dialettico è colui che sa cogliere l’esatta composizione numerica di ciascuna idea, colui cioè che è in grado di determinare con esattezza il numero di altre idee che entrano nella composizione di questa idea. Già gli antichi si resero conto che tra le concezioni esposte nei dialoghi, questa relativa al carattere numerico di ogni idea e alla presenza nel mondo intelligibile dei principi di limite e illimitato, è forse quella che più si avvicina al contenuto dell’insegnamento delle “dottrine non scritte”, in cui le idee (assimilate ai numeri) venivano fatte derivare dai principi dell’Uno e della diade indeterminata.

 

 

Collegamento: nel Sofista si mostra che tra le Idee ci sono relazioni necessarie (collegamento a Husserl). La dialettica di Platone è una forza del logos (non ancora esistente al tempo di Socrate) che si capace di indagare gli opposti anche indipendentemente dall’essenza (formalismo).

 

 

Sottolineiamo in particolare che la dialettica in Platone assume una valenza squisitamente formale. Essa diventa esattamente un modo di sviluppare il logos a prescindere dai suoi contenuti empirici specifici. Questo è particolarmente vero quando vediamo Platone applicare la dialettica al mondo delle idee, cioè al mondo delle forme slegato dalla materia (almeno dal punto di vista dell’ideale, poi del resto sappiamo già – con Reale – che le idee sono tanto trascendenti quanto immanenti al mondo materiale).

 

 

 

L’attualità di Platone

 

Trama – collegamento a Berti. È proprio questo che induceva Enrico Berti a parlare di “attualità di Platone” [cfr., “Le radici del pensiero filosofico”, a cura di E. Berti Enciclopedia multimediale delle scienze filosofiche – Treccani, 1993, pag. 80 e seguenti). Leggiamo insieme quanto molto acutamente osservava Berti:

“Parlare dell’attualità di Platone può sembrare quasi ridicolo, dopo la dichiarazione di uno dei maggiori filosofi del Novecento, Alfred North Whitehead, secondo cui l’intera storia della filosofia occidentale non è altro che una serie di commenti a Platone. Richiameremo tuttavia l’ attenzione su tre aspetti delle sue dottrine ” teoretiche”, più che altro per precisare in quale senso essi possano essere considerati attuali. Il primo è costituito dalla dottrina delle idee, indubbiamente la più originale dottrina del Platone teoretico. Si può dire che per mezzo di essa Platone ha reso possibile la scoperta del “concetto”, cioè di quel tipo di conoscenza che permette di andare oltre la pura percezione sensibile, per elaborare un discorso razionale e consentire, in tal modo, non solo qualsiasi forma di indagine scientifica, ma la stessa comunicazione verbale con gli altri uomini e con se stessi. […] Platone, con la sua dottrina delle idee, mostrò che gli universali non solo possono venire conosciuti, ma sono collegabili tra di loro in un discorso, il quale è anche pensiero ed è la condizione della scienza e di qualsiasi comunicazione. La successiva scoperta aristotelica del sillogismo, cioè del ragionamento, ha la sua origine nella scoperta di Platone che vi sono idee così strettamente legate che l’una “tira” l’altra, ossia che fra le idee vi sono relazioni necessarie”.

Proprio questa scoperta [1], secondo la quale vi sono idee così strettamente legate che l’una “tira” l’altra, ossia che fra le idee vi sono relazioni necessarie” permette – aggiungiamo noi – di parlare di formalismo in senso platonico. E qui dovrebbe emergere il collegamento strutturale con quanto abbiamo detto nel nostro percorso.

Aggiungiamo anche che è stata l’eccessiva enfatizzazione di questo punto ad indurre in errore i Neokantiani. Platone infatti – come sottolinea lo stesso Berti – ha “separato” le idee, cioè gli universali, dai particolari. A questo proposito nessuno degli attuali interpreti accetta più la tesi dei neokantiani Cohen e Natorp, chiaramente smentita dai testi. Per quanto Aristotele abbia rimproverato a Platone questa separazione, dichiarando che aveva ragione Socrate, il quale non separava gli universali dai particolari, è probabile che essa sia stata il prezzo che si doveva necessariamente pagare per giungere alla scoperta del concetto. Va detto comunque che la separazione ha determinato anche il sorgere di quella “cattiva” metafisica che Nietzsche e Heidegger hanno rimproverato a Platone, cioè della convinzione secondo la quale il mondo in cui viviamo non è il mondo vero – sul che qualcuno potrebbe anche essere d’accordo -, ed il mondo vero non è altro che una riproduzione a livello esemplare, ovvero un’idealizzazione, di questo mondo – sul che è molto più difficile concordare -.

 

Il secondo aspetto su cui riflettere è la dottrina dei principi, considerata probabilmente da Platone la sua dottrina più importante, valorizzata da Aristotele e dal neoplatonismo, poi a lungo trascurata. La convinzione che tutte le cose siano costituite da due principi opposti, l’uno causa di unità e di ordine, l’altro causa di molteplicità e di disordine, non è altro che la scoperta della complessità del mondo dell’esperienza, cioè da un lato della sua incapacità a spiegarsi da sé e dall’altro della sua suscettibilità di essere spiegato, cioè della sua razionalità: non una razionalità già totalmente dispiegata, ma una razionalità diremmo noi “virtuale”. Aristotele riprenderà questa dottrina mediante la distinzione di forma e materia, la quale non è altro che la prima formulazione di ogni successiva distinzione fra struttura ed elementi, fra ordine e disordine, continuamente ricorrente nell’indagine scientifica sulla natura e sull’uomo.

Anche qui Platone ha forse commesso l’errore di separare i due principi dal mondo di cui esprimono invece la struttura, finendo in tal modo inevitabilmente per considerarli unici ed identici per tutte le cose, mentre ciascuna di queste possiede invece una propria struttura, una propria unità e molteplicità, diversa da quella di tutte le altre. Come pure ha commesso l’errore di concepire tali principi come principi in primo luogo dei numeri e solo attraverso i numeri di tutte le altre cose. Mentre la separazione dei principi derivava dalla separazione delle idee, alle cui ragioni abbiamo già accennato, la loro, per così dire, matematizzazione derivava dalla scoperta – perché di una scoperta innegabilmente si è trattato – che alla base della realtà sensibile sono riscontrabili rapporti di tipo matematico.

Anche quest’ultima scoperta, che secondo alcuni fa di Platone il padre della fisica moderna, cioè della scienza tout court, poteva contenere degli sviluppi negativi e pericolosi – gli stessi, peraltro, che sono contenuti nella razionalità scientifica moderna -, quali una visione matematistica e deduzionistica della realtà, tendente a trascurarne gli aspetti qualitativi, la varietà, la mobilità, l’imprevedibilità. Tuttavia Platone fu ben consapevole del carattere non assoluto della matematica, tant’è vero che nella Repubblica non la considerò nemmeno una scienza, e nel Timeo presentò la descrizione del cosmo fondata sulla matematica come un discorso puramente verosimile, non certamente indiscutibile ed esauriente.

Più vicina ad una “buona” metafisica è invece la scoperta del principio efficiente, l’intelletto divino, già anticipata, come è noto, da Anassagora, ma da lui non adeguatamente sfruttata. Essa è la condizione, infatti, per ogni concezione finalistica e teistica della realtà, cioè per uno dei pochi modi fondamentali in cui il pensiero umano sia riuscito a fornire un’interpretazione generale dell’intera realtà.

 

 

[3] La dialettica. Ma l’aspetto più valido, e quindi anche attuale, senza riserva alcuna, del Platone teoretico è certamente la sua concezione della filosofia come dialettica. Nella Repubblica, infatti, Platone contrappone la filosofia alla matematica perché, a differenza di quest’ultima, essa non assume le ipotesi come principi, limitandosi a dedurne le conseguenze ed assicurandosi in tal modo soltanto una coerenza formale, ma al contrario le usa come punti di partenza, ed anzi, come dice in un altro passo, le “distrugge” e risale al principio anipotetico “passando attraverso tutte le confutazioni e sforzandosi di confutare non secondo opinione, ma secondo verità” (Lettura del passo Repubblica, VII, 533 C-534 C).

La spiegazione di questa enigmatica affermazione è contenuta nel Fedone, per quanto concerne la prima parte, cioè l’uso delle ipotesi, e nel Parmenide per quanto concerne la seconda, cioè (attuazione di “tutte” le confutazioni. Nel Fedone, infatti, il “rifugiarsi nei discorsi” deciso da Socrate dopo la delusione per- le indagini sulla natura, viene descritto come un “assumere a mo’ di ipotesi in ciascun caso un discorso”, ritenendo vere tutte le affermazioni che con esso concordino e false quelle che con esso non concordino (Lettura del passo Fedone, 99 E-100 A). Questo è l’assumere le ipotesi come punti di partenza, menzionato nella Repubblica. Indi Platone spiega che bisogna esaminare le conseguenze che derivano dall’ipotesi, cioè vedere se “concordino o discordino tra di loro”, evidentemente mantenendo l’ipotesi nel primo caso ed abbandonandola nel secondo. Infine egli afferma che bisogna “rendere ragione” dell’ipotesi, riconducendola ad un’ipotesi superiore, finché non si arrivi a “qualcosa di sufficiente” (Lettura del passo Fedone, 101 D-E).

 

 

 

 

 

Platone: oltre il formalismo?

 

L’uso delle ipotesi come punti di partenza consiste dunque nel fare ricorso, di fronte ad un qualsiasi problema, ad un’ipotesi generale, cioè ad un discorso universale, elevandosi in tal modo al di sopra delle osservazioni empiriche particolari, ma senza fermarsi ad essa per dedurne subito delle conseguenze definitive, come fanno i matematici ed in genere tutti coloro che si servono di sistemi ipotetico-deduttivi, cioè puraménte formali [ Platone oltre i limiti del formalismo?]. Bisogna invece sottoporre la stessa ipotesi alla prova, sia vagliandone le conseguenze, sia cercando di ricondurla a qualcosa di sufficiente, cioè ad un fondamento. Come si fa a riconoscere il fondamento, cioè il principio non ipotetico? Il Fedone non lo dice, mentre la Repubblica dice che lo si raggiunge “passando attraverso tutte le confutazioni” ed il Parmenide mostra in che cosa questa operazione consista.

Nella prima parte di questo dialogo, come è noto, Zenone di Elea difende la tesi del maestro Parmenide, secondo cui tutte le cose si riducono ad una, assumendo come ipotesi la sua negazione, ossia che le cose siano molte, e deducendo da questa conseguenze tra loro contraddittorie, per esempio che le cose sarebbero al tempo stesso simili e dissimili l’una all’altra (Lettura del passo Parmenide, 127 D-128 A). Nella seconda parte, quando si tratta di difendere la dottrina delle idee criticata da Parmenide, questi suggerisce a Socrate di fare come Zenone, non limitandosi tuttavia a dedurre le conseguenze di un’ipotesi, ma deducendo anche quelle dell’ipotesi ad essa opposta (Lettura di Parmenide, 135 C-136 A). Tutto il resto del dialogo non è altro che un’esemplificazione di questo procedimento, in cui si prospettano tutti i modi possibili di intendere sia l’ipotesi che l’Uno è, sia l’ipotesi che l’Uno non è, mostrando in quali casi ne derivano conseguenze accettabili, ed in quali casi ne derivano conseguenze inaccettabili.

Mostrare che da un’ipotesi derivano conseguenze accettabili, cioè non in contrasto fra di loro, significa avere mostrato che essa è incontraddittoria, il che non significa che sia vera, ma solo che può essere vera, cioè che è possibile. Mostrare invece che da un’ipotesi derivano conseguenze inaccettabili, perché contraddittorie fra loro, significa confutare un’ipotesi, cioè mostrare che essa è falsa, perché la contraddizione non può esistere nella realtà. Fino a questo punto siamo all’interno di quanto aveva insegnato a fare Socrate, cioè della dialettica socratica.

Considerare invece tanto un’ipotesi quanto la sua contraddittoria, cercando di confutarle entrambe, e riuscire a confutare una delle due, significa non solo avere mostrato che quella confutata è falsa, ma anche che la sua contraddittoria è vera. Un’ipotesi, infatti, la cui negazione è impossibile, perché autocontraddittoria, è non solo possibile, ma necessaria. In tal modo la discussione dialettica di un’ipotesi permette di stabilire non solo la falsità, o la possibilità di essa, ma anche la sua eventuale verità. ha condizione affinché questo avvenga, è però che si esaminino “tutte” le ipotesi possibili, perché solo dalla confutazione di tutte le altre risulta, per eliminazione, la verità di quella che non è stata confutata. Ecco perché Platone nella Repubblica raccomanda di passare attraverso “tutte” le confutazioni e di confutare non “secondo opinione”, cioè semplicemente a partire dall’opinione del proprio interlocutore, come faceva Socrate, ma “secondo verità”. Ed ecco perché il Parmenide prospetta ben otto possibilità, tra loro opposte, di intendere un’ipotesi e la sua negazione, al fine di esaminarle “tutte”

Questa è la dialettica di Platone, che Aristotele giudicò dotata di una “forza” non ancora esistente al tempo di Socrate, in quanto “capace di indagare gli opposti anche indipendentemente dall’essenza e di stabilire se la scienza dei contrari è la stessa” (Metaph. M 4, 1078 b 25-27). La scienza dei contrari è la stessa quando sapere la falsità di un’ipotesi, per averla confutata, equivale a sapere la verità della sua negazione; ma ciò è possibile solo quando si ha a che fare con ipotesi veramente contraddittorie l’una rispetto all’altra, tali cioè da poter abbracciare nella propria alternativa “tutte” le ipotesi possibili relative ad un determinato argomento.

 

 

 

 

Il concetto di epistème nel Sofista

 

Tale concezione ha consentito a Platone di dichiarare, nel Fedro, che la dialettica è capace, da un lato, di ricondurre ad un’unica idea ciò che è molteplice e disseminato e, dall’altro, di dividere le idee seguendo le nervature naturali (Fedro, 265 D-E); e, nel Sofista, che essa è la scienza (epistème) capace di stabilire quali idee comunichino tra di loro e quali non comunichino, cioè la scienza capace di non credere che idee identiche siano invece diverse o che idee diverse siano invece identiche (Lettura del Sofista, 253 C-E), il che equivale a dire la scienza capace di conoscere la verità e di evitare l’errore; ed infine nel Filebo che essa è in grado di determinare il numero esatto di idee comprese in ciascuna (Filebo, 16 D-E).

 

A parte l’ideale matematistico sotteso a questa concezione e la tendenza a concepire la dialettica come scienza universale, non c’è dubbio che il procedimento della dialettica teorizzato da Platone nella Repubblica, nel Parmenide e nel Sofista è quello che ha sempre distinto la filosofia dalle scienze particolari, come si potrebbe dimostrare attraverso una rassegna storica dei momenti in cui la filosofia ha raggiunto le sue vette più alte, riuscendo a fare delle vere e proprie dimostrazioni. Nella scoperta di esso sta dunque il motivo forse più grande della classicità, e quindi anche dell’attualità, di Platone.

 

 

 

L’epistemologia contemporanea e il problema del progresso scientifico. La riflessione epistemologica.

 

 

 

La teoria scientifica e la sua “verità”.

 

La riflessione epistemologica del Novecento, che ha portato al costituirsi dell’epistemologia come vera e propria disciplina, si è sviluppata sullo sfondo delle grandi “rivoluzioni scientifiche” del secolo, a cominciare da quelle del primo ventennio, le teorie della relatività e dei quanti e, prima ancora, come abbiamo visto, dall’avvento delle geometrie non-euclidee nel cuore dell’Ottocento. Queste ultime, infatti, avevano posto in anticipo questioni che sarebbero divenute oggetto di discussione all’inizio del secolo successivo. A cominciare da quella del rapporto fra teoria scientifica ed esperienza della realtà. Abbiamo visto che il Quinto postulato di Euclide, o “postulato delle parallele” sarebbe dovuto corrisponde ad un’intuizione immediata. Da qui il sorgere di una serie di problemi – come abbiamo visto – alla fine “risolti” dai matematici dell’Ottocento, i quali avevano dedotto una serie di teoremi geometrici egualmente coerenti e logicamente non refutabili partendo da postulati diversi da quello euclideo. Si è visto che prima Gauss poi Lobacevskij e Boylai avevano costruito una geometria iperbolica partendo dal postulato “per un punto passano infinite parallele a una retta data” e, alcuni anni dopo, nel 1857, Riemann elaborerà una geometria ellittica partendo dal postulato “per un punto non passa nessuna parallela a una retta data”.

 

In tal modo si ponevano due problemi fra loro collegati: il valore di una teoria sta nel suo rigore logico, nel fatto di essere un sistema ipotetico-deduttivo basato anzitutto sulla coerenza delle sue proposizioni, cioè sulla loro non-contraddittorietà; tale valore non era più basato, quindi, sulla corrispondenza della teoria con la realtà fisica quale è da noi comunemente percepita: ma allora qual è il suo valore di verità? Non è più assoluto, ma frutto di una convenzione, di una scelta e di un accordo fra gli scienziati? Ma ha senso, allora, parlare di verità?

 

Come si vede, si tratta di interrogativi che appartenevano alla tradizione filosofica e non solo alla scienza….

 

 

 

 

______________

Note

 

  • 1) “Nell’assiomatica euclidea, il termine “assioma” (o “nozione comune” stava a significare un principio vero in ogni ambito disciplinare in virtù della sua evidenza, ovvero del significato dei termini che vi compaiono; con “postulato”, invece, si intendeva un’assunzione specifica di una scienza particolare o la richiesta di poter eseguire una certa costruzione, processo dimostrativo. Oggi, a seguito della radicale trasformazione della concezione assiomatica […], questa distinzione non viene più effettuata. Il termine “postulato” compare prevalentemente nei resoconti storici sulla questione deI postulato delle parallele. Ecco perché gli, autori iniziano il discorso parlando di un assioma, che risulta poi essere il postulato delle parallele”.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MATERIALI AGGIUNTIVI

 

 

 

Il primo libro degli Elementi di Euclide

 

I libri di testo di geometria dell’attuale biennio delle scuole medie superiori sono basati più o meno direttamente su un’opera di Euclide, Gli Elementi. Di quest’opera non ci sono pervenute copie dirette e autografe, né abbiamo notizie certe sul suo autore. La data di composizione si fa risalire al 300 a.C.

 

La versione attuale è stata ricostruita a partire da commenti, osservazioni e riassunti di diversi autori. L’opera di riferimento principale è quella di Teone di Alessandria, vissuto nella seconda metà del secolo IV d.C., 700 anni dopo Euclide. Questi ne semplificò il linguaggio, aggiunse qualche passo alle dimostrazioni e inserì alcuni teoremi secondari.

 

Circa 400 anni dopo Teone, una copia del suo manoscritto (o una copia di una copia) viene tradotta in arabo. Intorno al 1120, una copia del testo arabo (o una copia di una copia) viene tradotta in latino da Adelardo di Bath. Nel 1270, la traduzione di Adelardo fu riveduta, anche alla luce di altre fonti arabe (a loro volta derivate da altre versioni greche del manoscritto di Teone) da Campano di Novara. Questa versione (o una copia di una copia) viene stampata a Venezia nel 1482. Sono passati circa 1800 anni.

 

Successivamente, sono state ritrovate altre versioni greche del manoscritto di Teone e una copia greca che probabilmente è precedente a quella di Teone. La ricostruzione attuale si basa sulla versione del filologo danese J. L. Heiberg risalente al 1880 e su quella dello storico inglese T. L. Heath del 1908.

 

La prima edizione italiana è dovuta al matematico italiano Federigo Enriques e risale al 1935. Nel 1970 compare nei tipi della UTET un’altra versione italiana, tradotta da Lamberto Maccioni e commentata da Attilio Fraiese.

 

Come premessa, è necessario quindi precisare che quando si fa riferimento a Euclide e al suo pensiero ci si riferisce in realtà al contenuto della sua opera così come è stato ricostruito alla luce degli eventi storici suddetti.

 

Il primo dei libri di Euclide è di particolare interesse storico e filosofico perché in esso sono contenuti i principi primi da cui prende le mosse l’organizzazione euclidea della geometria. Questi principi sono organizzati in definizioni, postulati e nozioni comuni.

 

Nella trattazione moderna della geometria si parte da alcuni termini primitivi, per esempio punto e retta, che non vengono definiti. A noi sembra evidente che l’operazione del definire consiste nel costruire una nozione partendo da altre nozioni, le quali a loro volta devono essere definite. E’ evidente che questo processo di definizione deve pur partire da alcuni termini che non devono essere definiti: questi sono appunti i termini primitivi. Una tendenza assiomatica moderna consiste nel partire da alcuni enti di cui si dà la definizione implicita, questi enti sono descritti o caratterizzati da regole o assiomi che ne stabiliscono il comportamento e il loro utilizzo.

 

Euclide definisce invece tutti gli enti che entrano in gioco nella trattazione.

 

Lo strumento ‘definizione’ che emerge dal testo di Euclide ha, infatti, una natura diversa. Non si tratta di costruire gli enti geometrici a partire dai mattoni di base, bensì di descriverli semplicemente affinché possano essere facilmente riconosciuti e individuati dai loro nomi: gli enti geometrici esistono già, indipendentemente dall’uomo. Essi sono forme pure che si materializzano, in modo imperfetto, negli oggetti reali. O viceversa, sono idealizzazioni di oggetti concreti.

 

 

Definizioni

 

  1. Un punto è ciò che non ha parti.

 

Questa celebre definizione

 

  1. Una linea è una lunghezza senza larghezza.

 

  1. Gli estremi di una linea sono punti.

 

  1. Una retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai punti su di essa.

 

  1. Una superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza.

 

  1. Gli estremi di una superficie sono linee.

 

  1. Una superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette su di essa.

 

  1. Un angolo piano è l’inclinazione reciproca di due linee in un piano le quali, si incontrino e non giacciano in linea retta.

 

  1. Quando le linee che comprendono l’angolo sono rette, l’angolo è detto rettilineo.

 

  1. Quando una retta innalzata a partire da un’altra retta forma con essa angoli adiacenti uguali fra loro, ciascuno dei due angoli è retto, e la retta si dice perpendicolare a quella su cui è innalzata.

 

  1. Dicesi angolo ottuso l’angolo maggiore di un angolo retto.

 

  1. Dicesi acuto l’angolo minore di un angolo retto.

 

  1. Dicesi termine è ciò che è estremo di qualche cosa.

 

  1. Dicesi figura è ciò che è compreso da uno o più termini.

 

  1. Dicesi cerchio una figura piana delimitata da un’unica linea tale che tutte le rette che terminano su di essa a partire da un medesimo punto fra quelli interni alla figura, siano uguali fra loro.

 

  1. Quel punto si chiama centro del cerchio.

 

  1. Dicesi diametro del cerchio è una retta condotta per il centro e terminata da ambedue le parti dalla circonferenza del cerchio, la quale retta taglia anche il cerchio per metà.

 

  1. Dicesi semicerchio è la figura compresa dal diametro e dalla circonferenza da esso tagliata. E centro del semicerchio è quello stesso che è anche centro del cerchio.

 

  1. Dicesi rettilinee le figure delimitate da rette, vale a dire: figure trilatere quelle comprese da tre rette, quadrilatere quelle comprese da quattro rette e multilatere quelle comprese da più di quattro rette.

 

  1. Dicesi triangolo equilatero la figura trilatera che ha i tre lati uguali, triangolo isoscele quella che ha soltanto due lati uguali, e scaleno quella che ha i tre lati disuguali.

 

  1. Dicesi inoltre triangolo rettangolo la figura trilatera che ha un angolo retto, triangolo ottusangolo quella che ha un angolo ottuso, e triangolo acutangolo quella che ha i tre angoli acuti.

 

  1. Dicesi quadrato la figura quadrilatera che ha i lati uguali e gli angoli retti.

 

  1. Diconsi parallele rette giacenti nello stesso piano che, prolungate illimitatamente in entrambe le direzioni, non si incontrino fra loro da nessuna delle due parti.

 

 

Postulati

 

Risulti postulato che:

 

  1. E’ possibile condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto.

 

  1. E’ possibile prolungare illimitatamente una retta finita in linea retta.

 

  1. E’ possibile descrivere un cerchio con qualsiasi centro e distanza (raggio) qualsiasi.

 

  1. Tutti gli angoli retti sono uguali fra loro

 

  1. Se (in un piano) una retta, intersecando due altre rette, forma con esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, allora queste due rette indefinitamente prolungate finiscono con l’incontrarsi dalla parte detta.

 

 

Nozioni comuni

 

  1. Cose uguali a un’altra medesima sono tra loro uguali.

 

  1. Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, allora si ottengono cose uguali.

 

  1. Se da cose uguali si tolgono cose uguali, allora si ottengono cose uguali.

 

  1. Cose che possono essere portate a sovrapporsi l’una con l’altra sono uguali tra loro.

 

  1. Il tutto è maggiore della parte.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I Teoremi principali di Euclide

 

 

Alessandro Benigni

Fata Libelli 2007