Zenone e i paradossi dell’infinito: vecchie note a margine.

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Zenone e i paradossi dell’infinito: vecchie note a margine, per un percorso didattico.

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Sommario

Zenone di Elea

[…] saranno tutte soltanto parole, quanto i mortali hanno stabilito, convinti che fosse vero: nascere e perire, essere e non essere, cambiamento di luogo e mutazione del brillante colore.

Parmenide di Elea, Sulla natura.

(vv. 42-45, DK 28 B 8, in I Presocratici, vol. I, p. 276)

«Zenone nega il movimento dicendo: “Ciò che si muove non si muove né in quel luogo in cui è, né in quello che non è”».

Diogene Laerzio, IX 72. I Presocratici, vol. I, p. 304

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INTRODUZIONE

Zenone di Elea era certamente un tipo strano. Di una ventina d’anni più giovane del maestro (il sommo Parmenide, senza dubbio un altro tipo strano), sappiamo di lui che nacque a Elea alla fine del VI secolo (probabilmente attorno al 490 a.c.). Nel dialogo platonico dedicato appunto a Parmenide, il vecchio maestro di Elea viene rappresentato in visita a Atene – dove incontra il giovane Socrate – accompagnato proprio da Zenone. Qui incontrò personaggi di spicco, come Pericle che, secondo la testimonianza di Plutarco, assistette alle sue lezioni (Plutarco, Vita di Pericle, 4-5). Dalle fonti viene descritto come uomo “eminentissimo e in filosofia e in politica”. Ma Zenone – come molti altri filosofi del suo tempo – non fu solamente un pensatore molto raffinato. Appassionato di politica, gli venne in mente di opporsi al tiranno di Elea, Nearco (secondo altre testimonianze si trattava incede di Diomedonte), dal quale venne però imprigionato, torturato ed ucciso. Fatto sta che Zenone seppe mostrare nella vita, così come nel pensiero, uno straordinario coraggio. Un tipo non comune, appunto.

Che tipo! Certo con Zenone non si scherzava. E neppure adesso si scherza con le sue sottilissime argomentazioni. E con i suoi ragionamenti non hanno affatto scherzato un sacco di illustri pensatori, fino ai giorni nostri.

Che cosa ci ha lasciato? Quali sono i suoi scritti? Diversamente da Parmenide (che amava esprimersi in versi eleganti), Zenone scrisse un’opera in prosa (Sulla natura) della quale restano purtroppo pochissimi frammenti. Non sappiamo a cosa si riferissero le altre opere (ne conosciamo solo i titoli: Dispute, Esegesi empedoclea, Ai filosofi). La possibilità di ricostruire il suo pensiero ci è data grazie alle critiche mossegli da Aristotele e ai brani conservatici da Simplicio nel suo commentario alla Fisica aristotelica.

PUNTI FONDAMENTALI PER “INQUADRARE BENE” ZENONE

Alcuni punti devono subito essere chiariti:

  1. Zenone, con le sue argomentazioni, se la prende con i nemici del maestro Parmenide, siano essi gente comune o filosofi di mestiere. Platone, sempre nel Parmenide, mette in bocca a Zenone questo giudizio sulla propria opera: “[…] In realtà il mio libro è una difesa della dottrina di Parmenide, diretta contro coloro che tentano di metterla in ridicolo, ritenendo che, se si ammette che tutto è uno, ne seguono molte conseguenze ridicole, contrarie alla tesi medesima” (Cfr. G. Reale, Storia della Filosofia antica, vol. I, p. 133)

  2. Con Zenone compare nella storia della filosofia un nuovo metodo argomentativo: la dialettica. Dal punto di vista del contenuto, infatti, le argomentazioni di Zenone non aggiungono nulla alla riflessione di Parmenide; ma per quanto riguarda il metodo di condurre il discorso esse rappresentano una novità: a Zenone fu infatti attribuita l’invenzione della dialettica, cioè di un procedimento dimostrativo che partendo da una premessa ne fa derivare una conclusione contraddittoria rispetto alla premessa stessa (come vedremo in seguito).

  3. Fra i temi proposti da Parmenide, quello che sembra essere stato più approfondito, sviluppato e strenuamente difeso da Zenone riguarda l’unicità e l’indivisibilità dell’essere. In particolare Zenone sviluppa argomenti contro la pluralità delle cose e contro il movimento.

  4. Il discorso di Zenone ha a che fare con l’infinito e dunque esige alcune premesse e alcune riflessioni ulteriori. Va “preso con le pinze” e maneggiato con cura. Come si vedrà, i paradossi di Zenone partono dal principio della infinita divisibilità dello spazio e del tempo, e dal presupposto che vi sia una perfetta corrispondenza fra pensiero logico-matematico e realtà fisica. Tesi, come avremo modo di notare, assai controverse e discusse.

PUNTO N. 1 – ZENONE E I NEMICI DI PARMENIDE

Con chi se la prende Zenone? E a chi appartengono le tesi che Zenone vuole confutare? Facile: Zenone se la prende con tutti coloro che (in qualche caso anche in modo beffardo nei confronti del maestro Parmenide) sostengono la tesi della molteplicità. I Pitagorici, dunque, sono tra i primi ad essere colpiti dalle critiche di Zenone. I seguaci di Pitagora, infatti, sostenendo che la sostanza delle cose è il numero (dunque i numeri), sono evidentemente i rappresentanti tipici di una dottrina che ammette la molteplicità. La loro dottrina perciò fu senza dubbio tenuta presente nelle confutazioni di Zenone. Tuttavia essa, molto probabilmente, non fu la sola. Sappiamo infatti che contemporaneo di Zenone era un certo Anassagora, la cui dottrina dei semi (o omeomerie) ammetteva anch’essa la realtà del molteplice. Molto probabilmente perciò Zenone ha inteso confutare la molteplicità dell’essere nel suo significato più generale ed esteso, includente non solo il pitagorismo, ma ogni altra dottrina che comunque ammettesse quella molteplicità. Dunque oggetto dei suoi attacchi erano senz’altro anche gli altri filosofi cosiddetti “fisici pluralisti”: Empedocle e Democrito. Questi filosofi attaccavano infatti molto duramente la teoria parmenidea dell’immutabilità, dell’unità e indivisibilità dell’essere in nome del “senso comune”, che attesta invece la realtà del movimento, della molteplicità e della divisibilità. Zenone, come dicevamo, si propone allora di difendere la dottrina del maestro, dimostrando che, se si assumono tesi contrarie a quelle eleatiche, da esse derivano conseguenze assurde. Se infatti per il “senso comune” poteva valere il famoso Postulato di Thumb alla legge di Murphy (“Una menzogna credibile è più utile di un’incomprensibile verità”), per il discepolo di Parmenide il piano della logica supera e sovrasta quello della realtà, dominandolo. Per Zenone valeva insomma lo stesso motto di Parmenide, in seguito magistralmente riassunto dal Postulato di Tupper (“Quelli che vanno dritti per la propria strada hanno poche direzioni da scegliere”).

Un primo elemento, dunque. Zenone voleva mostrare a quanti si prendevano gioco delle teorie del maestro Parmenide che in realtà c’era ancor più da ridere se si accettavano le idee (del resto accettate dal senso comune) circa la molteplicità ed il movimento. La teoria di Parmenide, come sappiamo bene, era apparsa sin dall’inizio in contrasto con il senso comune (doxa), quindi era stata tacciata di assurdità, in quanto aveva messo in discussione alcuni aspetti evidenti – e difficilmente confutabili – della realtà come il mutamento, la divisibilità e la molteplicità delle cose. Ma, a parere di Zenone, a conclusioni ancora più assurde portano le teorie che sostengono tali aspetti. E questo ci porta a parlare della questione del “metodo” utilizzato da Zenone: la dialettica.

PUNTO N. 2 – IL METODO DI ZENONE: LA DIALETTICA

Come dicevamo prima, nelle sue prese di posizione, Zenone fa uso di un nuovo apparato logico-argomentativo. Ma di cosa si tratta? Il metodo di cui Zenone si serve è, come notò Aristotele, quello della dialettica. La dialettica consiste nell’ammettere in via d’ipotesi l’affermazione dell’avversario per ricavarne poi conseguenze che la confutano e ne evidenziano l’assurdità. In sostanza si nega la tesi dell’avversario utilizzando le sue stesse premesse. Tale è il procedimento di Zenone che ammette ipoteticamente (!) la molteplicità e il mutamento per dimostrarne poi l’assurdità.

Con Zenone, quindi, la potenza di astrazione concettuale e di speculazione di Parmenide si traduce in nuove, più sottili e raffinate capacità logico-analitiche e argomentative. E non sarà inutile sottolineare che la forza analitico-argomentativa dei suoi ragionamenti ha avuto, non a caso, una profonda influenza sugli sviluppi della filosofia greca. Uno dei principali meriti di Zenone è stata, inoltre, la sottolineatura della problematicità e della complessità logico-linguistica di concetti come quelli di continuità, divisibilità, infinito, ecc., l’approfondimento e la chiarificazione dei quali saranno essenziali per lo sviluppo della matematica e della fisica moderne.

Ma parlando di Zenone non sentiamo solo dire che il suo metodo era quello della dialettica. Spesso si sente che Zenone ha utilizzato la reducio ad absurdum. Che cos’è? Abbiamo visto che le argomentazioni di Zenone accettano, sotto forma di ipotesi, le tesi degli avversari per dimostrarle poi paradossali e contraddittorie attraverso uno stringente ed elegante ragionamento logico. Questo è esattamente il metodo chiamato ad absurdum (con sottinteso il sostantivo reductio) con cui dalla contraddizione della conclusione si deduce l’assurdità della premessa. Dunque, come scrive Giovanni Reale, “nasce così quel metodo di dimostrazione che, invece di provare direttamente una data tesi, partendo da determinati principi, cerca di provarla riducendo all’assurdo la tesi contraddittoria” (Cfr. G. Reale, Storia della filosofia antica, op. cit., p. 133)

Molto famosa – e infatti l’abbiamo utilizzata anche noi – è poi l’espressione “i paradossi di Zenone”. Ma che cos’è un “paradosso”? Il ragionamento dialettico di Zenone, come abbiamo visto mira ad evidenziare come ammettendo la realtà della molteplicità e del movimento comporta inevitabilmente una contraddizione. Un “paradosso” (dal greco paradoxos «che va contro l’opinione comune») è, letteralmente, “un ragionamento apparentemente valido fondato su asserzioni apparentemente vere che conducono o ad una contraddizione o ad una conclusione falsa”. Zenone avrebbe ideato ben quaranta (!) paradossi – argomenti logicamente validi, le cui conclusioni vanno contro (parà) l’opinione comune (doxa) – a sostegno della teoria dell’unità e indivisibilità dell’essere. E, in particolare, quattro contro il movimento. Questi paradossi – come abbiamo già detto – utilizzano una forma di dimostrazione, quella per assurdo, che consiste nell’assumere provvisoriamente un’ipotesi e nello svolgerla logicamente, fino a dedurne una contraddizione. Un altro modo con cui questi argomenti sono talvolta definiti è “aporie” (in greco aporia «passaggio impraticabile», «strada senza uscita»). Nella storia della filosofia ne incontreremo un bel po’, quindi non sarà male abituarsi fin d’ora all’idea. Ce ne sono alcune spassosissime. Per esempio quelle relativi all’onnipotenza divina, presenti nelle discussioni della Scolastica medievale: Dio può creare un masso troppo pesante per essere mosso da Dio stesso? Se non può crearlo c’è qualcosa che Dio non può fare e pertanto Dio non è onnipotente. Se può crearlo ci sarà, dopo quella creazione, qualcosa che Dio non potrà fare. Un bel rompicapo, vero?

PUNTO N. 3 – CONTRO LA MOLTEPLICITÀ E CONTRO IL MOVIMENTO

IL PROBLEMA. E’ possibile dimostrare con argomenti razionali la verità della dottrina del sommo Parmenide, secondo il quale solamente l’essere esiste? E’ possibile dimostrare l’esistenza del non-essere?

LA SOLUZIONE. Zenone, come sappiamo, non cerca di dimostrare direttamente la tesi del maestro. Più sottilmente, si limita invece a confutare le tesi degli oppositori, ossia di coloro che sostengono l’esistenza del non-essere. Attraverso ragionamenti che “fanno venire il mal di testa” (secondo la definizione di Aristotele), Zenone riesce a dimostrare che affermare la realtà di una qualsiasi manifestazione del non-essere (il movimento, la traslazione dei corpi, la molteplicità, la velocità) conduce a conclusioni ancor più paradossali.

Come dicevamo, Zenone presenta alcuni argomenti sulla molteplicità e sul movimento che conducono a conclusioni paradossali. Sarà purtroppo necessario prenderliin esame. Cominciamo con quelli contro la molteplicità.

Contro la molteplicità

Zenone presenta due argomenti principali.

Primo argomento. Se si ammette che le cose sono molte, esse dovrebbero essere tante quante sono, non di più ne di meno: quindi il loro numero dovrebbe essere finito. Eppure, anche così, il loro numero non può che essere infinito, perché fra le une e le altre cose vi saranno sempre altre cose e, fra queste e le prime, altre cose ancora e così via all’infinito. Ad esempio, se le cose fossero solo due (A e B), inevitabilmente queste sarebbero separate da uno spazio C, cioè da una terza cosa. Ma C, per essere distinto da A e da B, sarebbe separato da loro – rispettivamente – da un’altra cosa D e da un’altra cosa E e così via all’infinito. Quindi, per assurdo, le cose, finite di numero, sarebbero infinite.

A ——————————- B 

(tra “A” e “B” c’è evidentemente uno “spazio”, cioè in fondo “qualcosa”, un altro ente, che chiameremo “C”):

A —————- C ————— B 

(ma così facendo si creano altri due spazi che a loro volta richiedono una moltiplicazione infinita degli enti)

Secondo argomento. Con un procedimento analogo, Zenone giunge a dimostrare che, posta la realtà del molteplice questo è, a un tempo, grande e piccolo.

Questo argomento, come quello precedente, si fonda sul presupposto (non esplicitato) dell’infinita divisibilità degli enti, principio non solo «logico» (per il pensiero non si dà alcuna contraddizione quando si pensa che una grandezza possa essere infinitamente divisa), ma anche «ontologico» (gli enti sono divisibili all’infinito non solo nel pensiero, ma anche nella realtà). Secondo Zenone, ogni ente, avendo necessariamente una certa grandezza e un certo spessore, ha sempre una parte che gli sta innanzi; questa, a sua volta, ha anch’essa una parte che gli sta innanzi e così via all’infinito. Gli enti, dunque, se sono molteplici, sono formati da infinite unità e quindi le cose esistenti sono, a un tempo, infinitamente grandi (perché ogni unità è composta di parti infinite) e infinitamente piccole (perché tutto ciò che esiste può essere frammentato all’infinito fino a non avere grandezza e quindi ad annullarsi). Anche in questo caso la contraddizione indica che l’ipotesi di partenza, secondo cui il tutto è composto di elementi molteplici, è assurda.

CONCLUSIONI

Se le cose sono molteplici allora dovrebbero essere sia finite (una quantità determinata) sia infinite, perché separate l’una dall’altra da altre cose (le quali avrebbero bisogno di altre cose per risultare separate). L’Essere è uno e pertanto è indivisibile. È inoltre imperituro e immobile. Chi sostiene il contrario cade nell’assurdo. Rendere evidente l’assurdità della divisibilità dell’Essere: questa è la via scelta da Zenone per dimostrare la veridicità della posizione eleatica.

Contro il movimento

Tra gli argomenti di Zenone i più famosi sono quelli contro la realtà del movimento. E, come se non bastasse, sono ben quattro.

a) Il primo è quello della dicotomia (dal greco dichotomìa «divisione in due parti»). E’ quello detto anche “dello stadio”. Non si può arrivare all’estremità dello stadio, giacché bisognerebbe arrivare prima alla metà di esso e prima ancora alla metà di questa metà e così via all’infinito. Ma non è possibile percorrere in un tempo finito infinite parti di spazio. In altre parole se un corpo si sposta da un estremo all’altro di uno spazio dato, prima di completare il percorso dovrà certamente raggiungere la metà della distanza; e prima di questa metà dovrà raggiungere la metà della metà e così via all’infinito, perché in qualsiasi spazio dato si trova un numero infinito di punti e, afferma Zenone, “tu non puoi toccare un numero infinito di punti, l’uno dopo l’altro, in un tempo finito”.

b) Il secondo argomento è quello del piè veloce Achille, che, pur rimanendoci male, non potrà mai superare (anzi: nemmeno raggiungere) la tartaruga beffarda. Se lasciamo infatti alla tartaruga anche solo un passo di vantaggio, non sarà mai raggiunta dal piè veloce Achille. Difatti, prima di raggiungerla, Achille dovrà raggiungere la posizione occupata precedentemente dalla tartaruga, che nel frattempo si sarà spostata di un intervallo, sia pure minimo, di spazio; così la distanza tra Achille e la tartaruga non si ridurrà mai a zero, pur diventando sempre più piccola. Il mitico eroe si avvicinerà sempre più alla pur lenta tartaruga senza però raggiungerla mai. Un po’ come la cattedra e gli aspiranti insegnanti di Filosofia…

In altri termini, partendo dall’ipotesi della divisibilità infinita dello spazio, un oggetto in movimento non potrà mai superare una distanza, anche se questa è minima e se la sua velocità è altissima, in quanto dovrà prima coprire il numero infinito di punti di cui consta quello spazio, quindi dovrà impiegare un tempo infinito.

Si tenga presente che anche in questi due argomenti il presupposto su cui Zenone si fonda è la possibilità di suddividere lo spazio fisico all’infinito e quindi l’identificazione tra divisibilità geometrica e divisibilità fisica. Già Aristotele aveva notato (non senza una certa ironia) che entrambi i ragionamenti avevano la medesima struttura argomentativa:

c) Il terzo argomento è quello “della freccia immobile”. Esso afferma per assurdo che una freccia in movimento sarebbe, in realtà, ferma. Il moto può essere rappresentato come una serie di spazi occupati – uno dopo l’altro – dalla freccia. Ma in ciascuno spazio occupato la freccia è ferma. Se questo è vero, allora il movimento della freccia è formato da una successione di spazi-istanti nei quali essa è ferma: cioè il movimento è impossibile, perché non può esser composto unicamente da momenti di immobilità.

Se ammettiamo che il tempo sia composto di istanti, cioè di tante unità una successiva all’altra, la freccia scoccata dall’arco non raggiungerà mai il bersaglio. In un istante x la freccia è in un punto detta sua traiettoria, in quell’istante essa è ferma in quel punto. E così in ogni istante la freccia è ferma in un punto. Se il tempo è un susseguirsi di istanti, per la freccia si verifica un susseguirsi di stati di quiete, quindi essa, nel tempo, è ferma. Inoltre, se ammettiamo la divisibilità dello spazio, la freccia scoccata dal punto A, prima di raggiungere il punto B in cui è situato il bersaglio, dovrà passare per il punto M posto a metà fra A e B, ma prima di raggiungere il punto M dovrà transitare per M’, mediano fra A e M, e quindi per M” , a metà percorso fra A e M’, e così via, all’infinito, per cui la freccia non arriverà mai al bersaglio.

L’argomentazione – diciamolo ancora – si fonda sul presupposto che in ogni istante di tempo la freccia copre uno spazio pari alla sua lunghezza. Ma dire che un oggetto occupa uno spazio identico alla propria lunghezza non è diverso dall’affermare che esso non si muove. Se quindi la freccia è ferma in ogni istante di tempo, lo sarà anche per tutto il tempo (formato di istanti) che passa dal momento in cui è stata scoccata al momento in cui ha raggiunto il bersaglio, dato che la somma di tanti stati di quiete non può generare il movimento.

d) L’ultimo argomento, il quarto, è “quello dello stadio”. Un po’ più complesso da visualizzare, non è che una variante dei precedenti: se due corpi A e B si muovono in esso con uguale velocità (rispetto a un punto di riferimento fisso C che è a metà strada) e in direzioni opposte, nel momento in cui si incrociano essi hanno una velocità relativa (cioè relativa a B per quanto riguarda A e relativa ad A per quanto riguarda B) che risulta doppia di quella relativa a C. Ma come può la velocità di ciascuno dei due corpi (A e B) essere il doppio di se stessa? Possiamo vedere questo ragionamento anche da un altro punto di vista, facendo un esempio. La velocità di un corpo, dice Zenone, misurata rispetto alla immobilità di un secondo corpo che sta fermo e rispetto al moto di un terzo corpo che corre in direzione opposta ad uguale velocità appare diversa: infatti appare doppia in relazione al terzo corpo. Un esempio per chiarire questo ragionamento: supponiamo tre treni disposti in tre binari paralleli, di cui i primi due corrano in direzioni opposte con una velocità identica di 100 Km orari, ed il terzo sia fermo. Ora la velocità del treno posto al centro apparirà di 100 Km orari nei confronti del treno che è immobile e di 200 Km orari nei confronti del treno che si muove nel senso opposto. Con questa argomentazione Zenone intende dimostrare che, se il movimento esistesse, la metà del tempo, corrisponderebbe all’intero: e ciò è necessariamente assurdo.

Occorre in questo caso notare come Zenone abbia inconsapevolmente anticipato la teoria della relatività. Ovviamente con questa radicale differenza: che ciò che per Einstein è realtà (= la relatività del movimento) per Zenone è un assurdo logico, che testimonia l’impensabilità razionale del nostro mondo, e quindi la tesi parmenidea circa il suo carattere apparente o illusorio. Come ulteriore esempio circa la teoria della relatività possiamo ricordare la Legge di Dyer sulla relatività: “La vita è breve, ma un film di tre ore è interminabile”.

Diciamo daccapo che l’argomento dello stadio si fonda sul paradosso di due masse che, muovendosi alla stessa velocità, ma l’una in direzione opposta all’altra, in uno stesso intervallo di tempo T percorrono uno spazio S che è, contemporaneamente, uguale (se il movimento è posto in relazione al riferimento di partenza che è fermo) e doppio (se il movimento è misurato in relazione alle masse che si muovono). Infatti la velocità con cui le masse si muovono può essere considerata in modo assoluto (se prendiamo come riferimento il punto di partenza) o relativo (se mettiamo in relazione il reciproco allontanarsi delle masse tra loro). Nel primo caso in un intervallo di tempo T le due masse percorrono lo stesso spazio S; nel secondo caso durante lo stesso intervallo T la distanza coperta sarà 2S, cioè doppia (le masse si muovono in direzione opposta e quindi lo spazio che le separa è doppio rispetto al punto di partenza). Anche in questo caso si giunge quindi a una contraddizione che può essere eliminata solo ammettendo come privo di ogni plausibilità razionale il presupposto dell’opinione comune che afferma la realtà del movimento.

Conseguenze generali

1) l’assurdità del divenire e del molteplice. Dagli argomenti esposti contro la molteplicità e il movimento deriva l’assurdità delle teorie della molteplicità e del divenire, che è ben superiore – conclude ironicamente Zenone – a quella che i critici hanno attribuito a Parmenide. Le assurdità in cui incorrono quelle teorie sono dovute in particolare alle difficoltà concettuali che (come abbiamo già visto con i Pitagorici) il concetto di infinito pone ai pensatori greci, soprattutto quando (come in questo caso) viene connesso ai concetti di grandezza e di movimento.

2) conferma delle tesi di Parmenide. Di conseguenza, con tutti questi argomenti, Zenone vuole indirettamente confermare la tesi del maestro secondo cui l’essere vero e logico non è quello in cui viviamo. Infatti coloro che scambiano l’apparente con il reale, parlando di molteplicità, movimento ecc. sono costretti ad avvolgersi in difficoltà mentali inestricabili.

LA POSIZIONE DI ZENONE

Qual è il punto debole dei ragionamenti di Zenone?

Possibile risposta: Zenone immagina il punto spaziale come convenzionale ed in esteso, mentre in realtà ha una certa estensione, e lo confonde perciò col punto matematico; inoltre, nello stesso modo, considera fittizi e privi di durata gli istanti di tempo che invece hanno una certa misura temporale.

Le discussioni critiche sull’argomento del piè veloce Achille.

Di tale argomento si può dare anche una esposizione matematica. Supponiamo che 1 sia la lunghezza della distanza che, dapprima, esiste tra il punto A (Achille) e il punto T (la tartaruga), che si muovono con velocità diverse, tra le quali il rapporto è 1 : 100

A ————————– T

                 1

Ora, quando A avrà percorso il tratto 1, T sarà avanzato di 1/100 e, quando A avrà percorso il tratto 1 + 1/100, T sarà avanzato ancora di 1/1002 e così via.

Cattura 1

Achille (A) ha percorso il tratto 1, ma la lenta tartaruga (T) ha già fatto un pezzettino di strada (1/100).

Cattura 2

Achille (A) ha percorso il tratto 1 ed ha completato anche il tratto ulteriore (1/100), ma la lenta tartaruga (T) ha fatto un altro, seppur minuscolo pezzettino di strada (1/1002).

E così ad libitum

La distanza tra A e T potrà insomma sì diminuire progressivamente, ma non potrà mai ridursi a zero, perché, per quanto minima, è sempre costituita di parti. Il punto A infatti dovrebbe completare l’incompletabile, cioè la serie illimitata di termini 1 + 1/100 + 1/1002 + 1/1003 … Ma ciò vuol dire che Achille sarà costretto a correre all’infinito.

Abbiamo già notato come il presupposto concettuale (e la forza logica) di questi argomenti sia la tesi che, accettata l’infinita divisibilità dello spazio, il movimento di un corpo dato non raggiungerà mai la sua meta, poiché, dovendo superare gli infiniti punti di cui consta qualsiasi distanza, dovrà impiegare un tempo infinito. Aristotele cercherà di risolvere il problema distinguendo tra piano reale e piano della possibilità mentale di aumentare indefinitamente, o diminuire indefinitamente. Una qualsiasi la possibilità mentale di aumentare indefinitamente, o diminuire indefinitamente, una qualsiasi quantità data. Ma se nella realtà esistono solo distanze finite, il movimento raggiungerà la sua meta, poiché si compirà in un tempo finito, infatti è vero che il tratto finito AB può essere indefinitamente scomposto nella metà della metà (AB = ½ + ¼ + 1/8 + 1/16 ecc.) però tale progressione infinita non può mai superare la quantità finita data 1 = AB . Analogamente è vero che, supposto che il rapporto di velocità tra Achille e la tartaruga sia di 100 a 1, Achille raggiungerà la tartaruga quando avrà percorso un tratto pari a 1/99 dello spazio interposto, in quanto Achille allora ne avrà percorso 100/99 e avrà quindi d’un tratto superato quella quantità finita di 1/99 di metro che non è mai raggiunta dalla progressione infinita 1/100 + 1/10000 + 1/1000000 ecc. Si noti tuttavia come la confutazione aristotelica (pur con tutti i suoi meriti) sia valida solo se si presuppone che lo spazio reale sia finito.

Ora, poiché l’ipotesi della divisibilità all’infinito è logicamente e matematicamente legittima, la difficoltà dell’argomento risiede proprio nel dover ammettere una sfasatura tra piano logico-matematico e piano fisico-reale. Per questo motivo, alcuni matematici-filosofi, a partire da Bertrand Russell (Principles of Matematics, 1903) tendono piuttosto ad esaltare Zenone per aver individuato possibilità della divisione all’infinito e quindi per aver posto il concetto che sta alla base del calcolo infnitesimale, che, tra l’altro, offre validi strumenti di soluzione dell’argomento dell’Achille, stavolta su base matematica avanzata, diversa da quella aristotelica-tradizionale.

Tuttavia, secondo alcuni, sul piano logico-filosofico, i primi due argomenti, se si ammette l’infinita divisibilità dello spazio, rimangono tuttora inconfutati e inconfutabili.

LE APORIE LEGATE AL CONCETTO DI INFINITO.

Gli argomenti di Zenone rivestono grande importanza per il pensiero filosofico e matematico. La matematica pitagorica aveva rappresentato gli enti come insiemi finiti di punti, finche la scoperta degli irrazionali non aveva mostrato come le grandezze spaziali constassero di un numero infinito di parti. Ciò appariva paradossale, perché – come Zenone stesso rileva – ciò che consta di infinite parti, per quanto piccole, dovrebbe essere illimitatamente grande. Una via d’uscita dalla difficoltà sembrava quella di ammettere che punti, linee e piani non fossero altro che enti ideali: i punti dovevano essere pensati come privi di qualsiasi estensione, le linee come grandezze a una sola dimensione, i piani come realtà bidimensionali, prive di spessore. In tal modo, infatti, si poteva concepire come in uno spazio finito si “affollassero” infiniti punti, linee, piani. Zenone si era impigliato nel confutare questo tentativo di soluzione: da enti privi di estensione non potranno mai derivare grandezze estese, così come sommando linee a una sola dimensione non si può ottenere una superficie, ne aggiungendo gli uni agli altri infiniti piani senza spessore costruire un solido. Zenone ebbe l’indubbio merito di mettere a nudo le aporie legate aI concetto di infinito: sarebbe spettato ai matematici il compito di individuare i metodi per trattare questa dimensione degli oggetti senza cadere in gravissime contraddizioni. La serietà dei paradossi di Zenone è provata dal fatto che, solo in età moderna, il pensiero matematico riuscì a elaborare una teoria quale l’analisi infinitesimale, in grado di risolvere le contraddizioni legate al problema dell’infinito.

IL CONCETTO DI INFINITO

Infinito, illimitato o indeterminato?

Inizieremo subito col dire che il termine infinito è piuttosto equivoco. In primo luogo perché se ne possono dare più definizioni, a seconda dell’apprezzamento, positivo o negativo; nel primo caso diremo che l’infinito. concentra tutti gli attributi massimi che possiamo pensare di qualcosa, e in particolar modo la perfezione e la potenza, nel secondo che l’infinito, essendo ciò che non ha né limite né forma, è l’imperfetto e il manchevole (così è stato pensato, per esempio, da Parmenide). In secondo luogo l’equivocità dipende dal contesto in cui dell’infinito si parla: si può discorrere infatti di infinito in matematica, in teologia, in cosmologia, in metafisica… dunque avremo tanti infiniti: l’infinito matematico, l’infinito teologico, l’infinito cosmologico, ecc. Si può insomma dire che esistono diversi tipi di infinito (e anche questa affermazione potrebbe sembrare equivoca… poi chiariremo):

Ma quale relazione c’è tra i termini “infinito” e “illimitato”, “indeterminato” o “indefinito”? Questa molteplicità di significati molto probabilmente ha un’origine etimologica e deriva dal corrispondente greco di infinito, ápeiron, che viene da a (alfa) privativo + péras, “limite”. L’ápeiron è, secondo Anassimandro, il principio di tutto, ciò da cui tutto proviene e in cui tutto deve tornare. Ma già Aristotele precisava che il girare in circolo senza termine, come in un anello senza castone, non è segno di infinito, per avere il quale bisogna “che non si prenda mai il medesimo punto” (Fisica, III, 6, 207a). Quando questo succede, non si ha propriamente l’infinito, ma l’illimitato. Questa distinzione è stata ripresa in età contemporanea da Bernhard Riemann (1826-1866), il matematico tedesco che costruì la geometria ellittica o sferica; mentre l’illimitatezza appartiene all’estensione (si potrebbe dire: è un concetto qualitativo), la seconda [l’infinità] appartiene alla misura (è un concetto quantitativo). Ne risulta che può senza difficoltà concepirsi uno spazio illimitato e pur finito. Orbene, il sistema di geometria ellittica poggia appunto essenzialmente sull’ipotesi che lo spazio sia finito: in particolare ciò si riflette sulla “retta” che, a differenza del caso euclideo e iperbolico, è chiusa e finita. È noto che queste riflessioni sono alla base della teoria della relatività di Einstein e della sua visione del mondo, illimitato, appunto, ma finito.

Alcuni pensatori hanno voluto anche distinguere tra infinito e indefinito. Per esempio Cartesio (1596-1650): “Io qui distinguo tra l’indefinito e l’infinito. Non c’è niente che io chiamo propriamente infinito, se non ciò in cui non posso riscontrare limiti da ogni parte, nel qual senso Dio solo è infinito. Ma le cose di cui solo per qualche aspetto io non vedo un termine, come l’estensione degli spazi immaginari, la moltitudine dei numeri, la divisibilità delle parti della quantità e altre cose simili, io le chiamo indefinite e non infinite, perché non in ogni loro parte sono senza fine né limiti” (Principi di filosofia, Risposte alle Prime Obiezioni, 10). Quindi mentre l’indefinito è attributo del reale, infinito si può dire solamente di Dio.

La concezione negativa dell’infinito

La filosofia greca ha molto discusso dell’infinito, ma generalmente per criticarlo ed esorcizzarlo, come se si trattasse di un pericoloso elemento di confusione. In questo senso il pensiero dei pitagorici e i paradossi di Zenone si può dire che abbiano tracciato la strada. I primi hanno pensato alla coppia limite/illimitato (nel senso ancora generico di ápeiron) come alla prima delle dieci opposizioni che sono alla base della serie dei numeri, la quale appunto nasce dalla delimitazione di una quantità indeterminata. Il positivo sta nel limite, che porta ordine e misura, mentre l’infinito-illimitato è qualcosa di incompiuto, di manchevole, quindi imperfetto.

Ma chi affronta in modo sistematico e completo il problema è Aristotele, il quale tratta l’infinito da più punti di vista, l’infinito matematico, l’infinito come principio e come processo, ma soprattutto l’infinito spaziale, per l’evidente connessione con il problema della infinità e dell’infinità del cosmo.

Aristotele distingue l’infinito attuale dall’infinito potenziale; il primo va inteso come realtà e come grandezza, il secondo come processo che non ha mai fine. Ebbene, il primo non può esistere, né come realtà, cioè come ente a sé, né come attributo di una realtà. Gli argomenti contro l’infinito attuale intendono soprattutto dimostrare l’inconcepibilità di un corpo infinitamente esteso; Aristotele svolge numerose considerazioni. Tra l’altro sostiene: “Tutto il sensibile è per natura in qualche luogo, e per ciascuna cosa particolare vi è un luogo, e questo è il medesimo per la parte e per il tutto, ossia per tutta la terra e per una sola zolla, per il fuoco e per una sola favilla” (Fisica, III, 5, 205a). Ora, il luogo è inteso da Aristotele come “immobile limite del contenente”; in altre parole, ogni spazio contiene qualcosa e si pone agli estremi di questo, così come “il luogo non è il cielo, ma, per così dire, l’estremità del cielo” (IV, 5, 212b).

Tra l’altro, ammettere un universo infinito significa togliere senso alle distinzioni alto/basso, centro/periferia, laddove sembra incontrovertibile che ci sia un basso, che è il luogo verso cui tende una cosa pesante, e che ci sia un centro dell’universo, che è il luogo occupato dalla terra, com’è provato dal fatto che essa non si muove. “Ma è impossibile che nell’infinito ci siano queste determinazioni. Insomma: se è impossibile che un luogo sia infinito e se ogni corpo è in un luogo, è impossibile che vi sia un qualche corpo infinito” (III, 205b-206a). L’universo per Aristotele è perfetto, ma proprio perché compiuto è finito. L’infinito attuale è anche impensabile; pensato può essere solo qualcosa di definito, che ha una forma, cioè una qualche determinazione.

Esiste solo l’infinito potenziale, che è tale per addizione (la serie dei numeri) o per sottrazione (lo spazio; l’estensione spaziale quindi tollera l’infinito solo come infinita divisibilità): nel primo caso ad un numero se ne può aggiungere sempre un altro, indefinitamente; nel secondo la divisibilità non ha termine, perché, come aveva già sostenuto Anassagora (V secolo a.C.) prima di Aristotele, ciò che è risultato di una divisione mantiene pur sempre una grandezza, e quindi è ulteriormente divisibile. infinito vuol dire incompiuto, ciò che manca di qualcosa; “l’infinito non è ciò al di fuori di cui non c’è nulla, ma ciò al di fuori di cui c’è sempre qualcosa” (Fisica, III, 6, 207a).

Data tale concezione dell’infinito, qualsiasi ragionamento che comporti un processo all’infinito è fallace. È così che si dimostra, per esempio, l’esistenza di Dio: ogni cosa è mossa da un motore ad essa esterno; di motore in motore, non si può risalire all’infinito, perché altrimenti nessuna cosa si muoverebbe qui ed ora; bisogna arrestarsi a un primo motore immobile, che è Dio. Stessa cosa per i principi primi di ogni scienza; in geometria, per esempio, un teorema si deduce da un precedente teorema; ma è impossibile compiere un’infinità di passaggi logici a ritroso, occorre che ad un certo punto sussistano principi primi indimostrabili.

Questa sistemazione aristotelica rimane pressoché definitiva fino all’Ottocento. Nel XVIII secolo Kant ripete ancora la concezione negativa dell’infinito quando tratta delle prime due “antinomie della ragion pura”, se cioè il mondo sia finito o infinito nel tempo e nello spazio, e se la divisibilità del mondo si arresta o procede all’infinito; per concludere appunto che ogni volta che la ragione si imbatte nell’infinito non riesce a dare soluzioni possibili.

La concezione positiva dell’infinito

La concezione positiva è di matrice cristiana: l’infinito è Dio, l’Assoluto. Il cristianesimo peraltro concepisce Dio come infinità di potenza più che come infinità di grandezza (preceduto in ciò, del resto, dal filosofo neoplatonico Plotino, III secolo d.C.).

Delle numerose riflessioni sull’infinità di Dio, tra le più originali sono quelle di Anselmo d’Aosta (1033-1109), che definisce Dio l’id quo maius cogitari nequti, “l’essere di cui non si può pensare nulla di maggiore”. Questa definizione è utilizzata da Anselmo per dimostrare la stessa esistenza di Dio.

All’inizio dell’età moderna Nicola Cusano (1401-1464) utilizza la nozione di infinito per negare invece ogni rapporto tra logica e teologia. La conoscenza, egli dice, è proporzione tra noto ed ignoto: si può conoscere ciò che non si conosce ancora, solo se questo possiede una qualche relazione col già noto. Ora, la distanza tra finito e infinito (Dio) non può venire mai percorsa, per quanto si ampli la mia conoscenza, in quanto finiti et infiniti nulla proportio, “non esiste proporzione possibile tra finito ed infinito”. La conclusione è che non si può conoscere Dio con processi logici; “così ora viene rifiutata qualsiasi specie di teologia “razionale”, ed al suo posto subentra la “teologia mistica” (Cassirer). Ciò non significa però avvicinarsi a Dio solo con il sentimento e con l’estasi; Cusano elabora una complessa dottrina che prevede il ricorso ad immagini, come quella della circonferenza, la cui curvatura sia ampliata all’infinito, per le quali non vale il principio di non contraddizione, ma la coincidenza degli opposti. Ciò consente un’impostazione originale del rapporto tra Dio e il mondo, infinito e finito: essi si richiamano costantemente, perché Dio, coincidenza degli opposti, è massimo, e in quanto tale “complica” (cioè include) in sé tutte le cose, ed è minimo, cioè è capace di manifestarsi nell’universo così come in ogni singola cosa. Da una parte quindi nulla può essere al di fuori di Dio, dall’altra Dio è in ogni cosa; questo è l’aspetto essenziale dell’essere delle cose, ed è per questo che noi non le possiamo comprendere del tutto, proprio perché la loro più vera natura è divina.

È attraverso complesse mediazioni, in cui svolge un ruolo importante proprio la teologia mistica, che si giunge alla più originale filosofia dell’infinito nell’età moderna, quella di Georg Friedrich Hegel (1770-1831), del quale, ha sostenuto ancora Cassirer, “il Cusano con meravigliosa acutezza anticipa i pensieri fondamentali”. Basti accennare al fatto che Hegel realizza completamente l’infinito nella molteplicità dei finiti, dichiara cioè che l’infinito si attua attraverso la natura e la storia. Il filosofo tedesco critica con decisione la nozione di infinito potenziale, sostenendo che esso è un prodotto dell’intelletto astraente, e che non è che “cattiva infinità”, proprio in quanto non si realizza mai.

Il vero infinito consiste invece nella molteplicità delle determinazioni della realtà (le cose finite), ciascuna delle quali, presa per se stessa, certamente è nulla, diventando qualcosa solo come momento dell’Assoluto. L’Assoluto è razionalità, ma questa razionalità infinita non fugge via continuamente, ma si concretizza nel divenire del mondo. “La novità del discorso hegeliano sta essenzialmente in questo, nell’aver creato la nozione di infinito globalmente determinato e nell’aver identificato tale nozione con quella dello sviluppo razionale” (Micheli). In tal modo è anche superato il limite posto dalla riflessione di Cusano circa l’impossibilità di comprendere l’intima essenza delle cose; per Hegel evidentemente niente è per definizione incomprensibile, niente appartiene a una razionalità astratta, che abiti fuori del mondo.

L’infinito nella matematica moderna

Poco tempo dopo le riflessioni di Hegel, ma in modo del tutto indipendente, anche la matematica è pervenuta a un concetto positivo di infinito

È stato il matematico tedesco di origine russa Georg Cantor (1845-1918) a scoprire un nuovo genere di numeri, i transfiniti (cioè al di là dei finiti), che sono numeri attualmente infiniti. Il punto di partenza è una nuova teoria del numero, interpretato nei termini di insieme, definito “molteplicità che si lasci pensare come uno, cioè ogni intero di elementi definiti che per mezzo di una legge si possa riunire in un tutto”. Ora, dati due insiemi, essi si dicono equivalenti quando i loro rispettivi elementi si possono porre in corrispondenza biunivoca, quando cioè ad ogni elemento di uno di essi corrisponde uno ed un solo elemento dell’altro. Ebbene, partendo da questi presupposti, si giunge alla conclusione che i numeri finiti e i numeri infiniti hanno in comune alcune proprietà, come per esempio la potenza o numero cardinale, che è quel concetto generale, che ci si forma degli elementi dell’insieme, quando si astrae dalla loro natura e dal loro ordine. In altre parole, siccome il numero non dipende più dall’operazione del contare, è possibile determinare un numero infinito attraverso la nozione di corrispondenza biunivoca. L’operazione è possibile nella misura in cui ci si libera dalla credenza che per poter pensare l’insieme bisogna aver prima considerato separatamente tutti i suoi elementi.

La differenza fondamentale tra insieme finito e insieme infinito è che, mentre il primo non è mai equivalente ad una sua parte, l’infinito si può mettere in corrispondenza biunivoca con un suo sotto-insieme. Per esempio, l’insieme dei numeri interi positivi è equivalente al sotto-insieme dei numeri pari.

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Alessandro Benigni, Settembre 1994


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Bibliografia

I Presocratici, testimonianze e frammenti, Laterza, Bari, 1993, Tomo I.

A. Koyré, Dal mondo chiuso all’universo infinito [1957], Milano, Feltrinelli, 1970.

L. Lombardo Radice, L’infinito, Roma, Editori Riuniti, 1981.

R. Mondolfo, L’infinito nel pensiero dei greci [1934], Firenze, La Nuova Italia, 1954.

P. Zellini, Breve storia dell’infinito, Milano, Adelphi, 1992.

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